Usando o Teorema do Valor Intermediário, prove que a equação abaixo admite solução no intervalo
:
Passo 1
Então, a gente tem um exercício que pede pra gente usar o Teorema do Valor Intermediário pra provar que a equação
tem pelo menos uma solução no intervalo
. O que a gente vai precisar aqui é entender esse teorema e saber trabalhar com funções contínuas. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos definir uma função que representa a diferença entre os dois lados da equação. Vamos chamar essa função de
:
Passo 3
Agora, precisamos verificar se essa função
é contínua no intervalo
. Sabemos que
e
são funções contínuas onde estiverem definidas, e como
está entre 1 e
, tudo está ok. Então,
também é contínua nesse intervalo.
Passo 4
O próximo passo é calcular os valores de
nas extremidades do intervalo, ou seja, em
e
.
Primeiro, em
:
Depois, em
:
Passo 5
Agora, observamos que
é positivo (
) e
é negativo (
). Como a função
é contínua no intervalo
e muda de sinal, de positivo para negativo, isso significa que ela passa pelo zero em algum ponto desse intervalo.
Resposta
Portanto, pela aplicação do Teorema do Valor Intermediário, a equação
tem pelo menos uma solução no intervalo
.
Exercícios relacionados
Considere a função
dada por
Determine o domínio e encontre todas as assíntotas verticais e horizontais. Faça o estudo do sinal dessa função, isto é, diga quais são os intervalos onde ela é positiva e negativa.
Seja
um campo escalar e
um campo vetorial. Diga se cada expressão tem significado. Em caso negativo, explique por quê. Em caso afirmativo, diga se é um campo vetorial ou escalar:
.
Determine uma série para
em potências de
.