Usando o Teorema do Valor Intermediário, prove que a equação abaixo admite solução no intervalo [1, e] :
e^(-x/e) = ln(x)

Passo 1

Então, a gente tem um exercício que pede pra gente usar o Teorema do Valor Intermediário pra provar que a equação tem pelo menos uma solução no intervalo . O que a gente vai precisar aqui é entender esse teorema e saber trabalhar com funções contínuas. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos definir uma função que representa a diferença entre os dois lados da equação. Vamos chamar essa função de :

Passo 3

Agora, precisamos verificar se essa função é contínua no intervalo . Sabemos que e são funções contínuas onde estiverem definidas, e como está entre 1 e , tudo está ok. Então, também é contínua nesse intervalo.

Passo 4

O próximo passo é calcular os valores de nas extremidades do intervalo, ou seja, em e .
Primeiro, em :
Depois, em :

Passo 5

Agora, observamos que é positivo ( ) e é negativo ( ). Como a função é contínua no intervalo e muda de sinal, de positivo para negativo, isso significa que ela passa pelo zero em algum ponto desse intervalo.

Resposta

Portanto, pela aplicação do Teorema do Valor Intermediário, a equação tem pelo menos uma solução no intervalo .

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