Considere a função f dada por f(x) = x^2 + 4x + 5. Determine D_f e Im_f.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente analisar a função e descobrir o domínio ( ) e a imagem ( ) dela. Vamos usar conceitos de funções quadráticas pra resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre domínio. O domínio de uma função é simplesmente todos os valores de que a gente pode colocar na função sem problemas. Pra funções polinômicas, como essa que temos aqui, não tem restrições. Ou seja, dá pra usar qualquer número real.

Passo 3

Então, concluindo o domínio: . Isso significa que qualquer número real pode ser usado como entrada para a função .

Passo 4

Agora, vamos para a imagem. A imagem de uma função é o conjunto de todos os possíveis valores de saída ( ). Como nossa função é uma parábola e o coeficiente de é positivo ( ), a parábola abre pra cima. Isso quer dizer que tem um valor mínimo, mas nenhum valor máximo.

Passo 5

Pra achar esse valor mínimo, podemos usar a fórmula do vértice da parábola. A coordenada do vértice é dada por:
Aqui, e , então:

Passo 6

Agora, vamos encontrar o valor mínimo da função substituindo na função original:
Isso significa que o menor valor que pode alcançar é 1.

Resposta

Portanto, a imagem de é .

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