Considere a função
dada por
. Pede-se: Analise a concavidade da curva
.
Passo 1
Beleza! Vamos analisar a concavidade da curva da função
. A matéria que vamos usar aqui é o cálculo diferencial, especificamente o teorema da concavidade que envolve derivadas segunda. Para resolver isso, vamos precisar calcular a primeira e a segunda derivadas da função.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada
. A derivada de uma função nos dá a inclinação da reta tangente à curva naquele ponto. Para derivar
, podemos usar a regra do quociente, que é usada quando temos uma divisão de duas funções.
A regra do quociente diz que se temos
, então a derivada é
. Aqui,
e
.
Calculando:
Então,
Passo 3
Agora, vamos encontrar a segunda derivada
. A segunda derivada nos ajuda a entender a concavidade da curva. Se
, a curva é côncava para cima naquele ponto, e se
, é côncava para baixo.
Para derivar
, podemos reescrever como
e usar a regra da potência para derivar.
Derivando:
Passo 4
Agora que temos
, vamos analisar o sinal dessa segunda derivada para determinar a concavidade.
- Quando
(ou seja, ):
Logo, a curva é côncava para cima nesse intervalo.
- Quando
(ou seja, ):
Logo, a curva é côncava para baixo nesse intervalo.
Resposta
A curva
é côncava para baixo quando
e côncava para cima quando
.