Considere a função f dada por f(x) = (x + 1) / (x - 1). Pede-se: Analise a concavidade da curva y = f(x).

Passo 1

Beleza! Vamos analisar a concavidade da curva da função . A matéria que vamos usar aqui é o cálculo diferencial, especificamente o teorema da concavidade que envolve derivadas segunda. Para resolver isso, vamos precisar calcular a primeira e a segunda derivadas da função.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada . A derivada de uma função nos dá a inclinação da reta tangente à curva naquele ponto. Para derivar , podemos usar a regra do quociente, que é usada quando temos uma divisão de duas funções.
A regra do quociente diz que se temos , então a derivada é . Aqui, e .
Calculando:
Então,

Passo 3

Agora, vamos encontrar a segunda derivada . A segunda derivada nos ajuda a entender a concavidade da curva. Se , a curva é côncava para cima naquele ponto, e se , é côncava para baixo.
Para derivar , podemos reescrever como e usar a regra da potência para derivar.
Derivando:

Passo 4

Agora que temos , vamos analisar o sinal dessa segunda derivada para determinar a concavidade.
  • Quando (ou seja, ):
Logo, a curva é côncava para cima nesse intervalo.
  • Quando (ou seja, ):
Logo, a curva é côncava para baixo nesse intervalo.

Resposta

A curva é côncava para baixo quando e côncava para cima quando .

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