Considere a função
dada por
. Pede-se: Determine, caso existam, os máximos e mínimos locais de
.
Passo 1
Neste exercício, temos a função
. O que nos pedem é determinar, se houverem, os pontos de máximo e mínimo locais dessa função. Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de cálculo diferencial, especificamente derivadas, para encontrar onde a função pode ter esses pontos de interesse.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar a derivada da função
, que nos indica a taxa de variação da função em relação a
. A derivada nos ajuda a identificar os pontos críticos, onde a função pode ter máximos ou mínimos locais.
A função dada é uma fração, então vamos aplicar a regra do quociente para derivar:
Se
, então a derivada é:
Aqui, temos
e
. Vamos calcular as derivadas de
e
:
Aplicando na fórmula:
Passo 3
Agora, vamos simplificar a expressão da derivada:
Passo 4
Para encontrar os pontos críticos, precisamos resolver
:
Observamos que o numerador é -2, que nunca é zero. Portanto, a derivada nunca é igual a zero para nenhum valor de
. Isso significa que a função não tem pontos críticos onde possa ocorrer um máximo ou mínimo local pela derivada igual a zero.
Passo 5
Além disso, devemos verificar onde a derivada não existe. A derivada
está definida para todos os
exceto onde o denominador é zero, ou seja,
. No entanto,
é uma assíntota vertical da função e não representa um máximo ou mínimo local.
Resposta
A função
não possui máximos ou mínimos locais.