Considere a função f dada por f(x) = (x + 1) / (x - 1). Pede-se: Determine, caso existam, os máximos e mínimos locais de f.

Passo 1

Neste exercício, temos a função . O que nos pedem é determinar, se houverem, os pontos de máximo e mínimo locais dessa função. Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de cálculo diferencial, especificamente derivadas, para encontrar onde a função pode ter esses pontos de interesse.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a derivada da função , que nos indica a taxa de variação da função em relação a . A derivada nos ajuda a identificar os pontos críticos, onde a função pode ter máximos ou mínimos locais.
A função dada é uma fração, então vamos aplicar a regra do quociente para derivar:
Se , então a derivada é:
Aqui, temos e . Vamos calcular as derivadas de e :
Aplicando na fórmula:

Passo 3

Agora, vamos simplificar a expressão da derivada:

Passo 4

Para encontrar os pontos críticos, precisamos resolver :
Observamos que o numerador é -2, que nunca é zero. Portanto, a derivada nunca é igual a zero para nenhum valor de . Isso significa que a função não tem pontos críticos onde possa ocorrer um máximo ou mínimo local pela derivada igual a zero.

Passo 5

Além disso, devemos verificar onde a derivada não existe. A derivada está definida para todos os exceto onde o denominador é zero, ou seja, . No entanto, é uma assíntota vertical da função e não representa um máximo ou mínimo local.

Resposta

A função não possui máximos ou mínimos locais.

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