Considere a função f definida por f(x) = log_a(x). Se f(a) = b e f(a+2) = b + 1, quais os valores de a e b ?

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função , que é uma função logarítmica com base . Sabemos que quando substituímos por , o resultado é , ou seja, . Além disso, quando substituímos por , o resultado é , ou seja, . Nosso objetivo é encontrar os valores de e .

Passo 2

Primeiro, vamos usar a definição da função logarítmica. Sabemos que . Sabemos que porque qualquer número logarítmico de sua própria base é 1. Portanto, temos:

Passo 3

Agora, vamos usar a segunda informação: . Sabemos que , então:
Isso significa que elevado a 2 é igual a :

Passo 4

Agora, vamos resolver a equação quadrática . Primeiro, colocamos todos os termos em um lado:
Essa equação pode ser fatorada ou resolvida usando a fórmula de Bhaskara. Vamos usar a fórmula:
Onde , , e . Substituindo na fórmula:
Isso nos dá duas soluções:
Como a base de um logaritmo deve ser positiva e diferente de 1, descartamos . Portanto, .

Resposta

Os valores são e .

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