O gerente de produção de uma indústria construiu a tabela abaixo, relacionando a produção dos operários com sua experiência.
Experiência (meses) 0 6
Produção (unidades por hora) 200 350
Acredita o gerente que a produção se relaciona à experiência , através da função , sendo o número de Euler e um número real
positivo. Considerando que as projeções do gerente de produção dessa indústria estejam corretas, quantos meses de experiência serão necessários para que os operários possam produzir 425 unidades por hora?

Passo 1

Então, vamos lá! A gente tem um gerente de produção que relacionou a experiência dos operários (em meses) com a produção deles (em unidades por hora) usando uma função matemática. A tabela mostra que um operário sem experiência (0 meses) produz 200 unidades por hora, e com 6 meses de experiência, produz 350 unidades por hora. A função que ele usa é:
Aqui, é a produção em função do tempo , é o número de Euler (aproximadamente 2,718), e é uma constante positiva que precisamos descobrir. Nosso objetivo é descobrir quantos meses de experiência são necessários para que a produção chegue a 425 unidades por hora.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o valor de . Sabemos que quando meses, a produção . Substituindo esses valores na função:
Sabemos que , então:
Então, agora nossa função fica:

Passo 3

Agora, vamos usar o segundo ponto da tabela para descobrir o valor de . Sabemos que quando meses, . Substituindo na função:
Vamos isolar a parte exponencial:
Para resolver para , vamos aplicar o logaritmo natural dos dois lados:
Calculando o valor de :
Então, a constante é aproximadamente 0,1155.

Passo 4

Agora que temos e , vamos encontrar o tempo necessário para que a produção seja 425 unidades por hora. Usando a função:
Vamos isolar a parte exponencial:
Aplicando o logaritmo natural dos dois lados:
Calculando :

Resposta

Serão necessários aproximadamente 12 meses de experiência para que os operários possam produzir 425 unidades por hora.

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