Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos três funções definidas por:
A tarefa é encontrar o domínio da função inversa de , ou seja, . Para isso, precisamos saber um pouco sobre funções inversas e seus domínios.
Passo 2
Lembre-se que o domínio de uma função inversa é igual ao conjunto de valores que pode assumir, ou seja, o contradomínio de é o domínio de . Então, nosso objetivo é encontrar todos os valores de para os quais existe um tal que .
Passo 3
Vamos começar definindo :
Agora, queremos expressar em termos de para encontrar a inversa.
Passo 4
Multiplicamos ambos os lados da equação por para eliminar o denominador:
Distribuindo o :
Passo 5
Agora, vamos isolar os termos com de um lado:
Fatorando o :
Passo 6
Finalmente, resolvemos para :
Essa é a expressão para .
Passo 7
Para que seja um número real válido, o denominador não pode ser zero:
Portanto, é um valor que não está no domínio de .
Resposta
O domínio de é todos os números reais, exceto . Ou seja: