Sejam
e
as funções definidas por:
Faça o que se pede:
Encontre o domínio de
.
Encontre o domínio de
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos três funções definidas por:
A tarefa é encontrar o domínio da função inversa de
, ou seja,
. Para isso, precisamos saber um pouco sobre funções inversas e seus domínios.
Passo 2
Lembre-se que o domínio de uma função inversa
é igual ao conjunto de valores que
pode assumir, ou seja, o contradomínio de
é o domínio de
. Então, nosso objetivo é encontrar todos os valores de
para os quais existe um
tal que
.
Passo 3
Vamos começar definindo
:
Agora, queremos expressar
em termos de
para encontrar a inversa.
Passo 4
Multiplicamos ambos os lados da equação por
para eliminar o denominador:
Distribuindo o
:
Passo 5
Agora, vamos isolar os termos com
de um lado:
Fatorando o
:
Passo 6
Finalmente, resolvemos para
:
Essa é a expressão para
.
Passo 7
Para que
seja um número real válido, o denominador
não pode ser zero:
Portanto,
é um valor que não está no domínio de
.
Resposta
O domínio de
é todos os números reais, exceto
. Ou seja: