Considere a função
e determine os pontos onde
não é derivável.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente descobrir onde a função
não é derivável. A função está dividida em duas partes:
Então, o conteúdo que vamos usar aqui é derivada de funções definidas por partes e verificar a continuidade e a derivabilidade nesses pontos de junção. Precisamos checar especialmente no ponto onde a função muda de uma expressão para outra, que é quando
.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a função é contínua em
. Para uma função ser derivável em um ponto, ela precisa ser contínua nesse ponto.
Calculamos os limites à esquerda e à direita de
:
- Limite quando
se aproxima de 2 pela esquerda ( ):
- Limite quando
se aproxima de 2 pela direita ( ):
Como os limites pela esquerda e pela direita são iguais e também iguais ao valor de
(que é 5), a função é contínua em
.
Passo 3
Agora, vamos verificar as derivadas à esquerda e à direita de
.
- Derivada pela esquerda (
):
A função é
, cuja derivada é
.
- Derivada pela direita (
):
A função é
, cuja derivada é
.
Vemos que as derivadas à esquerda e à direita são diferentes (
), o que significa que a inclinação da função muda de repente em
.
Resposta
A função
não é derivável no ponto
.