Considere a função e determine os pontos onde não é derivável.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente descobrir onde a função não é derivável. A função está dividida em duas partes:
Então, o conteúdo que vamos usar aqui é derivada de funções definidas por partes e verificar a continuidade e a derivabilidade nesses pontos de junção. Precisamos checar especialmente no ponto onde a função muda de uma expressão para outra, que é quando .
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a função é contínua em . Para uma função ser derivável em um ponto, ela precisa ser contínua nesse ponto.
Calculamos os limites à esquerda e à direita de :
Limite quando se aproxima de 2 pela esquerda ():
Limite quando se aproxima de 2 pela direita ():
Como os limites pela esquerda e pela direita são iguais e também iguais ao valor de (que é 5), a função é contínua em .
Passo 3
Agora, vamos verificar as derivadas à esquerda e à direita de .
Derivada pela esquerda ():
A função é , cuja derivada é .
Derivada pela direita ():
A função é , cuja derivada é .
Vemos que as derivadas à esquerda e à direita são diferentes (), o que significa que a inclinação da função muda de repente em .