Considere a função e determine os pontos onde não é derivável.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente descobrir onde a função não é derivável. A função está dividida em duas partes:
Então, o conteúdo que vamos usar aqui é derivada de funções definidas por partes e verificar a continuidade e a derivabilidade nesses pontos de junção. Precisamos checar especialmente no ponto onde a função muda de uma expressão para outra, que é quando .

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a função é contínua em . Para uma função ser derivável em um ponto, ela precisa ser contínua nesse ponto.
Calculamos os limites à esquerda e à direita de :
  • Limite quando se aproxima de 2 pela esquerda ( ):
  • Limite quando se aproxima de 2 pela direita ( ):
Como os limites pela esquerda e pela direita são iguais e também iguais ao valor de (que é 5), a função é contínua em .

Passo 3

Agora, vamos verificar as derivadas à esquerda e à direita de .
  • Derivada pela esquerda ( ):
A função é , cuja derivada é .
  • Derivada pela direita ( ):
A função é , cuja derivada é .
Vemos que as derivadas à esquerda e à direita são diferentes ( ), o que significa que a inclinação da função muda de repente em .

Resposta

A função não é derivável no ponto .

Exercícios relacionados

Para:

(desafio) Para os valores de a e b do item anterior, existe (5)? (Calcule utilizando limites)
Seja:

Onde é diferenciável?
Seja:

Esboce o gráfico de .
Encontre uma equação da reta tangente à curva no ponto .