Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente tem uma função definida por partes:
O objetivo é descobrir em quais pontos essa função é diferenciável. Para isso, precisamos entender sobre diferenciabilidade, que basicamente significa que a função tem uma derivada em um ponto. Para uma função ser diferenciável em um ponto, ela precisa ser contínua nesse ponto e as derivadas laterais (pela esquerda e pela direita) devem ser iguais.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar a continuidade da função nos pontos onde a definição muda, ou seja, em e . Se a função não for contínua nesses pontos, ela já não será diferenciável.
Passo 3
Para :
Limite quando se aproxima de 0 pela esquerda ():
Limite quando se aproxima de 0 pela direita ():
Como , a função não é contínua em , portanto, não é diferenciável nesse ponto.
Passo 4
Para :
Limite quando se aproxima de 3 pela esquerda ():
Limite quando se aproxima de 3 pela direita ():
Como os limites são iguais e iguais ao valor da função em , a função é contínua nesse ponto.
Passo 5
Agora, vamos verificar as derivadas em .
Derivada pela esquerda () da função :
A derivada de é .
Derivada pela direita () da função :
A derivada de é . Avaliando em :
As derivadas laterais são e , que são diferentes. Portanto, a função não é diferenciável em .