Seja:

Onde é diferenciável?

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente tem uma função definida por partes:
O objetivo é descobrir em quais pontos essa função é diferenciável. Para isso, precisamos entender sobre diferenciabilidade, que basicamente significa que a função tem uma derivada em um ponto. Para uma função ser diferenciável em um ponto, ela precisa ser contínua nesse ponto e as derivadas laterais (pela esquerda e pela direita) devem ser iguais.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar a continuidade da função nos pontos onde a definição muda, ou seja, em e . Se a função não for contínua nesses pontos, ela já não será diferenciável.

Passo 3

Para :
  • Limite quando se aproxima de 0 pela esquerda ( ):
  • Limite quando se aproxima de 0 pela direita ( ):
Como , a função não é contínua em , portanto, não é diferenciável nesse ponto.

Passo 4

Para :
  • Limite quando se aproxima de 3 pela esquerda ( ):
  • Limite quando se aproxima de 3 pela direita ( ):
Como os limites são iguais e iguais ao valor da função em , a função é contínua nesse ponto.

Passo 5

Agora, vamos verificar as derivadas em .
  • Derivada pela esquerda ( ) da função :
A derivada de é .
  • Derivada pela direita ( ) da função :
A derivada de é . Avaliando em :
As derivadas laterais são e , que são diferentes. Portanto, a função não é diferenciável em .

Resposta

A função não é diferenciável em nenhum ponto.

Exercícios relacionados

Para:

Dê um exemplo de valores para a e b tal que exista mas f não seja contínua em .
Determine os pares ordenados (a,b) de forma que a função seja contínua em .
Para:

(desafio) Para os valores de a e b do item anterior, existe (5)? (Calcule utilizando limites)
Considere a função e determine os pontos onde não é derivável.