Para:
f(x) = { x^2 - 3x + a se x < 5, 2 se x = 5, (x^2 - 6x + 5)/(x - 5) + b se x > 5 }
(desafio) Para os valores de a e b do item anterior, existe f' (5)? (Calcule utilizando limites)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema nos dá uma função por partes e pede para verificar se a derivada de no ponto , ou seja, , existe. Para isso, vamos precisar usar conceitos de limites e derivadas. Primeiro, vamos entender cada parte da função e depois aplicar os limites para encontrar .

Passo 2

Primeiro, vamos garantir que a função é contínua em . Para isso, precisamos que os limites à esquerda e à direita de 5 sejam iguais ao valor da função em 5.
Para :
O limite quando se aproxima de 5 pela esquerda é:
Para :
Simplificando a fração:
Então, o limite quando se aproxima de 5 pela direita é:
Como , para a função ser contínua em 5, precisamos que:
Resolvendo:

Passo 3

Agora que temos e , vamos verificar se a derivada existe. Para isso, precisamos calcular os limites das derivadas à esquerda e à direita de 5 e ver se são iguais.
A derivada de para :
Então:
A derivada de para :
Então:
Como:
As derivadas laterais são diferentes, então não existe.

Resposta

Não, a derivada não existe porque os limites das derivadas à esquerda e à direita de 5 são diferentes.

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