Para:
(desafio) Para os valores de a e b do item anterior, existe (5)? (Calcule utilizando limites)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema nos dá uma função por partes e pede para verificar se a derivada de no ponto , ou seja, , existe. Para isso, vamos precisar usar conceitos de limites e derivadas. Primeiro, vamos entender cada parte da função e depois aplicar os limites para encontrar .
Passo 2
Primeiro, vamos garantir que a função é contínua em . Para isso, precisamos que os limites à esquerda e à direita de 5 sejam iguais ao valor da função em 5.
Para :
O limite quando se aproxima de 5 pela esquerda é:
Para :
Simplificando a fração:
Então, o limite quando se aproxima de 5 pela direita é:
Como , para a função ser contínua em 5, precisamos que:
Resolvendo:
Passo 3
Agora que temos e , vamos verificar se a derivada existe. Para isso, precisamos calcular os limites das derivadas à esquerda e à direita de 5 e ver se são iguais.
A derivada de para :
Então:
A derivada de para :
Então:
Como:
As derivadas laterais são diferentes, então não existe.
Resposta
Não, a derivada não existe porque os limites das derivadas à esquerda e à direita de 5 são diferentes.