Considere a função
dada por
.
(a) Encontre a equação da reta tangente ao gráfico de
no ponto de abscissa
.
(b) Determine os pontos onde a reta tangente corta os eixos coordenados.
© Calcule a área do triângulo delimitado pela reta tangente e pelos eixos.
(a) Encontre a equação da reta tangente ao gráfico de
(b) Determine os pontos onde a reta tangente corta os eixos coordenados.
© Calcule a área do triângulo delimitado pela reta tangente e pelos eixos.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a função
definida para
. A questão envolve encontrar a reta tangente a essa função num ponto específico, descobrir onde essa reta corta os eixos coordenados e, por fim, calcular a área do triângulo formado por esses cortes. Para isso, vamos precisar usar conceitos de derivadas para achar a inclinação da reta tangente e um pouco de geometria para os cálculos de áreas.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a equação da reta tangente ao gráfico de
no ponto de abscissa
. Para isso, precisamos da derivada de
, que nos dá a inclinação da reta tangente.
A função é
. A derivada de
em relação a
é:
Então, a inclinação da reta tangente no ponto
é:
Agora, sabemos que a reta tangente passa pelo ponto
, ou seja,
. Usando a forma da equação da reta
, temos:
Simplificando a equação:
Passo 3
Agora, vamos determinar onde essa reta tangente corta os eixos coordenados.
Corte com o eixo
:
Para encontrar o ponto onde a reta corta o eixo
, fixamos
:
Então, o ponto de interseção com o eixo
é
.
Corte com o eixo
:
Para encontrar o ponto onde a reta corta o eixo
, fixamos
:
Resolvendo para
:
Então, o ponto de interseção com o eixo
é
.
Passo 4
Por fim, vamos calcular a área do triângulo formado pelos pontos de interseção da reta tangente com os eixos coordenados e a origem.
Os vértices do triângulo são:
- Origem
- Ponto de interseção com o eixo
- Ponto de interseção com o eixo
A base do triângulo é o segmento entre
e
, que tem comprimento
.
A altura do triângulo é o segmento entre
e
, que tem comprimento
.
A área
do triângulo é dada por:
Resposta
A área do triângulo delimitado pela reta tangente e pelos eixos coordenados é igual a
unidades de área.
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