Considere a função dada por .
(a) Encontre a equação da reta tangente ao gráfico de no ponto de abscissa .
(b) Determine os pontos onde a reta tangente corta os eixos coordenados.
© Calcule a área do triângulo delimitado pela reta tangente e pelos eixos.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a função definida para . A questão envolve encontrar a reta tangente a essa função num ponto específico, descobrir onde essa reta corta os eixos coordenados e, por fim, calcular a área do triângulo formado por esses cortes. Para isso, vamos precisar usar conceitos de derivadas para achar a inclinação da reta tangente e um pouco de geometria para os cálculos de áreas.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a equação da reta tangente ao gráfico de no ponto de abscissa . Para isso, precisamos da derivada de , que nos dá a inclinação da reta tangente.
A função é . A derivada de em relação a é:
Então, a inclinação da reta tangente no ponto é:
Agora, sabemos que a reta tangente passa pelo ponto , ou seja, . Usando a forma da equação da reta , temos:
Simplificando a equação:

Passo 3

Agora, vamos determinar onde essa reta tangente corta os eixos coordenados.
Corte com o eixo :
Para encontrar o ponto onde a reta corta o eixo , fixamos :
Então, o ponto de interseção com o eixo é .
Corte com o eixo :
Para encontrar o ponto onde a reta corta o eixo , fixamos :
Resolvendo para :
Então, o ponto de interseção com o eixo é .

Passo 4

Por fim, vamos calcular a área do triângulo formado pelos pontos de interseção da reta tangente com os eixos coordenados e a origem.
Os vértices do triângulo são:
  • Origem
  • Ponto de interseção com o eixo
  • Ponto de interseção com o eixo
A base do triângulo é o segmento entre e , que tem comprimento .
A altura do triângulo é o segmento entre e , que tem comprimento .
A área do triângulo é dada por:

Resposta

A área do triângulo delimitado pela reta tangente e pelos eixos coordenados é igual a unidades de área.

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