Determine se a série converge e, em caso afirmativo, encontre o valor da soma: sumk=1^+infty 5^3 k 7^1-k

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. A gente precisa determinar se a série converge, ou seja, se ela soma até um valor finito. Se ela convergir, também vamos encontrar o valor dessa soma. Para resolver isso, vamos usar o conceito de série geométrica e a fórmula da soma dessa série.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão geral da série para identificar se ela é uma série geométrica. A série dada é:
sumk=1^+infty 5^3k cdot 7^1 - k
Vamos reescrever os termos de forma mais simples. Sabemos que sumk=1^+infty 125^k cdot 77^k = 7 sumk=1^+infty ( 1257 )^k e . Substituindo isso na série, temos:

Passo 3

Agora, observamos que a série está na forma de uma série geométrica:
sumk=1^+infty ar^k-1
No nosso caso, podemos identificar que e . Uma série geométrica converge se, e somente se, o valor absoluto da razão for menor que 1 ( ).

Passo 4

Vamos verificar o valor de r = 1257 approx 17,86 :
Como , temos que . De acordo com o critério da série geométrica, isso significa que a série não converge; na verdade, ela diverge, ou seja, a soma cresce sem limites.

Resposta

A série diverge.

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