Considere a função f: R -> R, dada por f(x) = x^2 / (x - 2) (b) Determine os intervalos de crescimento e decrescimento de f.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a função e precisa descobrir em quais intervalos ela está crescendo ou decrescendo. Para isso, vamos usar o conceito de derivada, que nos ajuda a entender como a função se comporta.

Passo 2

Primeiro, vamos derivar a função . Lembra que para derivar uma fração, a gente usa a regra do quociente. Se tiver uma função , a derivada é .
Aqui, e . Então, vamos calcular e :

Passo 3

Aplicando a regra do quociente:
Vamos simplificar o numerador:
Então, a derivada fica:

Passo 4

Agora, para descobrir onde a função está crescendo ou decrescendo, a gente analisa o sinal da derivada .
A derivada será positiva quando o numerador e o denominador tiverem o mesmo sinal e negativa quando tiverem sinais opostos.
Como o denominador é sempre positivo (exceto em , onde a função não está definida), o sinal da derivada depende só do numerador .

Passo 5

Vamos resolver para encontrar onde a derivada é positiva:
As raízes são e . Vamos analisar os intervalos:
  • : negativo e negativo → positivo.
  • : positivo e negativo → negativo.
  • : positivo e positivo → positivo.

Passo 6

Então, resumindo:
  • Para e , → função está crescente.
  • Para , → função está decrescente.

Resposta

A função está crescendo nos intervalos e e decrescendo no intervalo .

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