Considere a função
, dada por
(b) Determine os intervalos de crescimento e decrescimento de
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a função
e precisa descobrir em quais intervalos ela está crescendo ou decrescendo. Para isso, vamos usar o conceito de derivada, que nos ajuda a entender como a função se comporta.
Passo 2
Primeiro, vamos derivar a função
. Lembra que para derivar uma fração, a gente usa a regra do quociente. Se tiver uma função
, a derivada é
.
Aqui,
e
. Então, vamos calcular
e
:
Passo 3
Aplicando a regra do quociente:
Vamos simplificar o numerador:
Então, a derivada fica:
Passo 4
Agora, para descobrir onde a função está crescendo ou decrescendo, a gente analisa o sinal da derivada
.
A derivada será positiva quando o numerador e o denominador tiverem o mesmo sinal e negativa quando tiverem sinais opostos.
Como o denominador
é sempre positivo (exceto em
, onde a função não está definida), o sinal da derivada depende só do numerador
.
Passo 5
Vamos resolver
para encontrar onde a derivada é positiva:
As raízes são
e
. Vamos analisar os intervalos:
-
: negativo e negativo → positivo. -
: positivo e negativo → negativo. -
: positivo e positivo → positivo.
Passo 6
Então, resumindo:
- Para
e , → função está crescente. - Para
, → função está decrescente.
Resposta
A função
está crescendo nos intervalos
e
e decrescendo no intervalo
.