Determine a equação da reta tangente ao gráfico da função
no ponto
. Use ela para aproximar o valor da função em
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação da reta tangente ao gráfico da função
no ponto
. Isso envolve conhecimentos de derivadas, que é um assunto de Cálculo Diferencial. Para isso, vamos precisar calcular a derivada da função, avaliar essa derivada no ponto dado para encontrar a inclinação da reta tangente e, por fim, usar essa inclinação para escrever a equação da reta. Depois, vamos usar essa reta para aproximar o valor de
.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada da função
. A derivada de uma função nos dá a inclinação da reta tangente naquele ponto específico. Para derivar
, aplicamos as regras de derivação:
Sabemos que:
E, para a função exponencial
, a derivada é:
Então, a derivada completa fica:
Passo 3
Agora, vamos avaliar a derivada no ponto
para encontrar a inclinação da reta tangente naquele ponto:
Vamos calcular numericamente:
Então, a inclinação da reta tangente é aproximadamente
.
Passo 4
Com a inclinação
e o ponto de tangência
, podemos escrever a equação da reta tangente usando a fórmula da reta:
Substituindo os valores:
Simplificando:
Então, a equação da reta tangente é:
Passo 5
Agora, vamos usar essa reta tangente para aproximar o valor de
. Isso significa que vamos substituir
na equação da reta tangente:
Então, a aproximação de
usando a reta tangente é aproximadamente
.
Resposta
A reta tangente ao gráfico de
no ponto
é
. Usando essa reta, a aproximação de
é aproximadamente
.
Exercícios relacionados
Identifique o tipo de indeterminação e calcule os seguintes limites.
.
Considere a função
, dada por
(a) Determine os pontos criticos de
.
Considere a função
, dada por
(b) Determine os intervalos de crescimento e decrescimento de
.
Considere a função
, dada por
© Determine os pontos máximos e/ou mínimo locais de
e seus valores.