Determine a equação da reta tangente ao gráfico da função no ponto . Use ela para aproximar o valor da função em .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação da reta tangente ao gráfico da função no ponto . Isso envolve conhecimentos de derivadas, que é um assunto de Cálculo Diferencial. Para isso, vamos precisar calcular a derivada da função, avaliar essa derivada no ponto dado para encontrar a inclinação da reta tangente e, por fim, usar essa inclinação para escrever a equação da reta. Depois, vamos usar essa reta para aproximar o valor de .

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada da função . A derivada de uma função nos dá a inclinação da reta tangente naquele ponto específico. Para derivar , aplicamos as regras de derivação:
Sabemos que:
E, para a função exponencial , a derivada é:
Então, a derivada completa fica:

Passo 3

Agora, vamos avaliar a derivada no ponto para encontrar a inclinação da reta tangente naquele ponto:
Vamos calcular numericamente:
Então, a inclinação da reta tangente é aproximadamente .

Passo 4

Com a inclinação e o ponto de tangência , podemos escrever a equação da reta tangente usando a fórmula da reta:
Substituindo os valores:
Simplificando:
Então, a equação da reta tangente é:

Passo 5

Agora, vamos usar essa reta tangente para aproximar o valor de . Isso significa que vamos substituir na equação da reta tangente:
Então, a aproximação de usando a reta tangente é aproximadamente .

Resposta

A reta tangente ao gráfico de no ponto é . Usando essa reta, a aproximação de é aproximadamente .

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