Identifique o tipo de indeterminação e calcule os seguintes limites. lim x 0(1+3 x)^1x.

Passo 1

Vamos resolver o limite . Este exercício envolve o estudo de limites e formas indeterminadas. Para resolver, vamos precisar entender como lidar com exponenciais que resultam em formas indeterminadas, especialmente do tipo .

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o tipo de indeterminação presente no limite. Ao substituir (1 + 3 cdot 0)^10 = 1^infty diretamente na expressão, temos:
Então, a forma indeterminada é .

Passo 3

Agora, para calcular o limite de uma expressão que resulta em L = limx 0(1+3x)^1x , podemos utilizar logaritmos. Vamos chamar o limite de ln L = limx 0 ln(1 + 3x)x :
Aplicando o logaritmo natural em ambos os lados:

Passo 4

Para resolver ln(1 + y) = y - y^22 + y^33 - dots , podemos usar a expansão em série de Taylor para ln(1 + 3x) = 3x - (3x)^22 + (3x)^33 - dots , onde ln(1 + 3x) approx 3x :
Substituindo :
Para próximo de 0, os termos de ordem superior a são negligenciáveis, então:

Passo 5

Substituindo na expressão do logaritmo do limite:
ln L = limx 0 3xx = 3
Portanto, .

Passo 6

Agora, para encontrar L = e^ln L = e^3 , basta aplicar a função exponencial dos dois lados:

Resposta

e^3

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