Identifique o tipo de indeterminação e calcule os seguintes limites. .

Passo 1

Vamos resolver o limite . Este exercício envolve o estudo de limites e formas indeterminadas. Para resolver, vamos precisar entender como lidar com exponenciais que resultam em formas indeterminadas, especialmente do tipo .

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o tipo de indeterminação presente no limite. Ao substituir diretamente na expressão, temos:
Então, a forma indeterminada é .

Passo 3

Agora, para calcular o limite de uma expressão que resulta em , podemos utilizar logaritmos. Vamos chamar o limite de :
Aplicando o logaritmo natural em ambos os lados:

Passo 4

Para resolver , podemos usar a expansão em série de Taylor para , onde :
Substituindo :
Para próximo de 0, os termos de ordem superior a são negligenciáveis, então:

Passo 5

Substituindo na expressão do logaritmo do limite:
Portanto, .

Passo 6

Agora, para encontrar , basta aplicar a função exponencial dos dois lados:

Resposta

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Considere a função , dada por (a) Determine os pontos criticos de .
Identifique o tipo de indeterminação e calcule os seguintes limites. .
Determine a equação da reta tangente ao gráfico da função no ponto . Use ela para aproximar o valor da função em .
Considere a função , dada por (b) Determine os intervalos de crescimento e decrescimento de .