Identifique o tipo de indeterminação e calcule os seguintes limites.
.
Passo 1
Vamos resolver o limite
. Este exercício envolve o estudo de limites e formas indeterminadas. Para resolver, vamos precisar entender como lidar com exponenciais que resultam em formas indeterminadas, especialmente do tipo
.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o tipo de indeterminação presente no limite. Ao substituir
diretamente na expressão, temos:
Então, a forma indeterminada é
.
Passo 3
Agora, para calcular o limite de uma expressão que resulta em
, podemos utilizar logaritmos. Vamos chamar o limite de
:
Aplicando o logaritmo natural em ambos os lados:
Passo 4
Para resolver
, podemos usar a expansão em série de Taylor para
, onde
:
Substituindo
:
Para
próximo de 0, os termos de ordem superior a
são negligenciáveis, então:
Passo 5
Substituindo na expressão do logaritmo do limite:
Portanto,
.
Passo 6
Agora, para encontrar
, basta aplicar a função exponencial dos dois lados:
Resposta
Exercícios relacionados
Considere a função
, dada por
(a) Determine os pontos criticos de
.
Identifique o tipo de indeterminação e calcule os seguintes limites.
.
Determine a equação da reta tangente ao gráfico da função
no ponto
. Use ela para aproximar o valor da função em
.
Considere a função
, dada por
(b) Determine os intervalos de crescimento e decrescimento de
.