Considere a função f: R -> R dada por f(x) = b*(x^2 - a^2) + a*(x^2 - b^2) em que a e b são constantes reais.
a) Mostre que f(-x) - f(x) = 0.
b) Encontre x0 em R tal que f(x0) = 0.

Passo 1

Então, a gente tem uma função , onde e são números reais. A parte (a) do exercício quer que a gente mostre que . Para isso, vamos precisar entender como a função se comporta quando substituímos por .

Passo 2

Primeiro, vamos calcular . Substituindo por na função:
Sabemos que , então simplificando:

Passo 3

Agora, vamos calcular diretamente:

Passo 4

Para encontrar , subtraímos de :
Isso resulta em:

Passo 5

Agora, na parte (b), a gente precisa encontrar um valor real tal que . Isso significa que queremos achar que satisfaça a equação:

Passo 6

Vamos simplificar a equação:
Agrupando os termos com :

Passo 7

Isolando :
Dividindo ambos os lados por :

Passo 8

Simplificando a fração:
Portanto:

Resposta

Os valores de que satisfazem são e .

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