Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série. sumn=1^infty n 5^n x^n

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o raio de convergência e o intervalo de convergência da série . Isso está relacionado ao estudo de séries de potências e como saber para quais valores de essa série “funciona”, ou seja, converge.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para encontrar o raio de convergência ( ) de uma série de potências da forma , usamos o teste da razão (ou teste de D’Alembert). Esse teste nos ajuda a determinar até onde a série converge.

Passo 3

Aplicando o teste da razão, a gente calcula o limite:
limn to infty | an+1an |
No nosso caso, limn to infty | (n+1) 5^n+1n 5^n | = limn to infty | (n+1) 5n | , então vamos substituir na fórmula:

Passo 4

Simplificando a expressão dentro do limite:
limn to infty | n+1n cdot 5 | = limn to infty | (1 + 1n) 5 | = 5

Passo 5

O teste da razão nos diz que a série converge quando:
limn to infty | an+1an | < 1/R
Nesse caso, já temos o limite igual a 5, então:
5 < 1R implies R = 15

Passo 6

Agora que temos o raio de convergência , o intervalo de convergência fica centrado em 0 e vai de até , ou seja, de a .

Passo 7

Por fim, precisamos verificar os extremos do intervalo para ver se a série converge nesses pontos.
  • Para sumn=1^infty n 5^n (15)^n = sumn=1^infty n :
sumn=1^infty n 5^n (-15)^n = sumn=1^infty n (-1)^n
Essa série é uma série harmônica divergente.
  • Para :
Essa também não converge.

Resposta

O raio de convergência é e o intervalo de convergência é .

Exercícios relacionados