Determine o domínio e a imagem da função
Encontre a inversa de
e esboce o seu gráfico.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinarmos o domínio e a imagem da função , encontrar a inversa dessa função e esboçar o gráfico da inversa. Para isso, vamos usar conceitos de funções trigonométricas e suas inversas, além de entender como identificar domínio e imagem.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o domínio de uma função. O domínio são todos os valores de
para os quais a função está definida. No caso da função , precisamos lembrar que a função arcsen só está definida para entradas entre -1 e 1. Portanto, precisamos que
esteja nesse intervalo.
Passo 3
Vamos estabelecer a condição:
Agora, vamos resolver essa desigualdade para encontrar os valores de
.
Subtraindo 1 de todos os lados:
Dividindo por 3:
Então, o domínio de
é
.
Passo 4
Agora, vamos encontrar a imagem da função, ou seja, os possíveis valores de
. Sabemos que a função arcsen retorna valores entre
e
. Portanto, a imagem de
é:
Passo 5
Para encontrar a inversa da função
, vamos trocar
por
e resolver para
:
Aplicando o seno dos dois lados:
Isolando
:
Portanto, a inversa de
é:
Resposta
- Domínio de
: - Imagem de
: - Função inversa:
O gráfico da função inversa
é uma senoide deslocada e escalada, refletida em relação ao eixo
.
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para estimar os seguintes valores
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dada por
em que
e
são constantes reais.
a) Mostre que .
b) Encontre tal que
.
a) Mostre que
b) Encontre