Determine o domínio e a imagem da função
g(x) = arcsen(3 x + 1)
Encontre a inversa de g e esboce o seu gráfico.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinarmos o domínio e a imagem da função , encontrar a inversa dessa função e esboçar o gráfico da inversa. Para isso, vamos usar conceitos de funções trigonométricas e suas inversas, além de entender como identificar domínio e imagem.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o domínio de uma função. O domínio são todos os valores de para os quais a função está definida. No caso da função , precisamos lembrar que a função arcsen só está definida para entradas entre -1 e 1. Portanto, precisamos que esteja nesse intervalo.

Passo 3

Vamos estabelecer a condição:
Agora, vamos resolver essa desigualdade para encontrar os valores de .
Subtraindo 1 de todos os lados:
Dividindo por 3:
Então, o domínio de é .

Passo 4

Agora, vamos encontrar a imagem da função, ou seja, os possíveis valores de . Sabemos que a função arcsen retorna valores entre e . Portanto, a imagem de é:

Passo 5

Para encontrar a inversa da função , vamos trocar por e resolver para :
Aplicando o seno dos dois lados:
Isolando :
Portanto, a inversa de é:

Resposta

  • Domínio de :
  • Imagem de :
  • Função inversa:
O gráfico da função inversa é uma senoide deslocada e escalada, refletida em relação ao eixo .

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