Resolva a equação
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que resolver a equação
. Aqui, estamos lidando com logaritmos naturais e álgebra. Para resolver isso, vamos precisar usar propriedades dos logaritmos e fatoração.
Passo 2
Primeiro, vamos observar que todos os termos têm o fator
. Então, vamos fatorar isso para simplificar a equação:
Agora, nossa equação fica
.
Passo 3
Sabemos que um produto é zero se pelo menos um dos fatores for zero. Então, temos duas possibilidades:
Vamos resolver cada uma delas separadamente.
Passo 4
Primeira possibilidade:
Dividindo ambos os lados por 2:
Mas, vamos ver se
é válido na nossa equação original. Substituindo
em
, ficaria
, que não está definido nos números reais. Então,
não é uma solução válida.
Passo 5
Segunda possibilidade:
Vamos chamar
para facilitar. A equação fica:
Isso é uma equação quadrática em
. Podemos reescrever como:
Passo 6
Agora, fatoramos a equação quadrática:
Então, temos duas soluções para
:
Vamos voltar para
e resolver para
.
Passo 7
Primeira solução:
Para resolver isso, usamos a propriedade que
implica
:
Somando 1 em ambos os lados:
Então,
Passo 8
Segunda solução:
Para resolver, usamos a definição do logaritmo natural (
):
Somando 1 em ambos os lados:
Então,
Resposta
As soluções da equação são:
Exercícios relacionados
Considere a função
dada por
em que
e
são constantes reais.
a) Mostre que .
b) Encontre tal que
.
a) Mostre que
b) Encontre
Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série.
Determine os pontos críticos e os máximos/mínimos locais de cada uma das seguintes funções. Use as informações para fazer um esboço do gráfico