Resolva a equação 4 x ln(x^2-1) - 2 x [ln(x^2-1)]^2 = 0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que resolver a equação . Aqui, estamos lidando com logaritmos naturais e álgebra. Para resolver isso, vamos precisar usar propriedades dos logaritmos e fatoração.

Passo 2

Primeiro, vamos observar que todos os termos têm o fator . Então, vamos fatorar isso para simplificar a equação:
Agora, nossa equação fica ã.

Passo 3

Sabemos que um produto é zero se pelo menos um dos fatores for zero. Então, temos duas possibilidades:
Vamos resolver cada uma delas separadamente.

Passo 4

Primeira possibilidade:
Dividindo ambos os lados por 2:
Mas, vamos ver se é válido na nossa equação original. Substituindo em , ficaria , que não está definido nos números reais. Então, não é uma solução válida.

Passo 5

Segunda possibilidade:
Vamos chamar para facilitar. A equação fica:
Isso é uma equação quadrática em . Podemos reescrever como:

Passo 6

Agora, fatoramos a equação quadrática:
Então, temos duas soluções para :
Vamos voltar para e resolver para .

Passo 7

Primeira solução:
Para resolver isso, usamos a propriedade que implica :
Somando 1 em ambos os lados:
Então,

Passo 8

Segunda solução:
Para resolver, usamos a definição do logaritmo natural ( ):
Somando 1 em ambos os lados:
Então,

Resposta

As soluções da equação são:

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