integral0^1 integral0^1 e^x+y d x d y

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular uma integral dupla: integral0^1 integral0^1 e^x+y , dx , dy. Isso envolve cálculo de integrais sobre duas variáveis, aqui x e y. Para resolver, vamos precisar conhecer as regras de integração para funções exponenciais e entender como calcular integrais iteradas, ou seja, fazer uma integral de cada vez.

Passo 2

Vamos começar resolvendo a integral interna, que é em relação a x. Aqui, y é tratado como uma constante. A integral de e^x+y em relação a x é semelhante a integrar e^x, mas com um pequeno ajuste.
A integral de e^x+y , dx é:
integral e^x+y , dx = e^y integral e^x , dx = e^y cdot e^x + C
Onde C é a constante de integração. Agora, vamos avaliar essa expressão de x = 0 até x = 1:
e^y cdot e^1 - e^y cdot e^0 = e^y (e - 1)

Passo 3

Agora que temos a expressão resultante da primeira integral, vamos para a integral externa, que é em relação a y. Nossa nova integral é:
integral0^1 e^y (e - 1) , dy
Como (e - 1) é uma constante em relação a y, podemos tirá-la da integral:
(e - 1) integral0^1 e^y , dy
A integral de e^y em relação a y é simplesmente e^y, então avaliamos de 0 a 1:
(e - 1) (e^1 - e^0) = (e - 1) (e - 1) = (e - 1)^2

Resposta

O valor da integral é (e - 1)^2.

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