Mostre que
integral0^1 integral0^1 integral0^1 11-x y z d x d y d z=sumn=1^infty 1n^3
(Ninguém jamais foi capaz de determinar o valor exato da soma dessa série.)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para mostrar que a integral tripla de sobre o cubo é igual à soma da série . Estamos lidando com cálculo de integrais múltiplas e séries infinitas. Para resolver isso, vamos precisar usar a expansão em série geométrica e trocar a ordem de soma e integração.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a função dentro da integral: 11 - xyz = sumn=0^infty (xyz)^n . Sabemos que, para , podemos expandir essa fração como uma série geométrica:
Essa expansão é válida porque , e estão todos entre 0 e 1, então .

Passo 3

Agora, vamos substituir essa expansão dentro da integral tripla:
integral0^1 integral0^1 integral0^1 11 - xyz , dx , dy , dz = integral0^1 integral0^1 integral0^1 sumn=0^infty (xyz)^n , dx , dy , dz

Passo 4

Podemos trocar a ordem da soma e das integrais (isso é permitido porque a série converge uniformemente no intervalo de integração):
sumn=0^infty integral0^1 integral0^1 integral0^1 (xyz)^n , dx , dy , dz

Passo 5

Agora, vamos calcular a integral de cada termo da série separadamente. Primeiro, integramos em relação a integral0^1 x^n , dx = 1n + 1 :
integral0^1 y^n , dy = 1n + 1, integral0^1 z^n , dz = 1n + 1
Fazemos o mesmo para (1n + 1) (1n + 1) (1n + 1) = 1(n + 1)^3 e :
Multiplicando esses resultados:

Passo 6

Então, nossa soma fica:
sumn=0^infty 1(n + 1)^3 = sumn=1^infty 1n^3
Aqui, simplesmente mudamos o índice de de 0 para 1.

Resposta

integral0^1 integral0^1 integral0^1 11 - xyz , dx , dy , dz = sumn=1^infty 1n^3

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