Mostre que
(Ninguém jamais foi capaz de determinar o valor exato da soma dessa série.)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para mostrar que a integral tripla de
sobre o cubo
é igual à soma da série
. Estamos lidando com cálculo de integrais múltiplas e séries infinitas. Para resolver isso, vamos precisar usar a expansão em série geométrica e trocar a ordem de soma e integração.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para a função dentro da integral:
. Sabemos que, para
, podemos expandir essa fração como uma série geométrica:
Essa expansão é válida porque
,
e
estão todos entre 0 e 1, então
.
Passo 3
Agora, vamos substituir essa expansão dentro da integral tripla:
Passo 4
Podemos trocar a ordem da soma e das integrais (isso é permitido porque a série converge uniformemente no intervalo de integração):
Passo 5
Agora, vamos calcular a integral de cada termo da série separadamente. Primeiro, integramos em relação a
:
Fazemos o mesmo para
e
:
Multiplicando esses resultados:
Passo 6
Então, nossa soma fica:
Aqui, simplesmente mudamos o índice de
de 0 para 1.
Resposta
Exercícios relacionados
Mostre que
e calcule as transformadas de Laplace.
Considere a função
dada por
Mostre que
é contínua em 0 .
Determine se as seguintes funções são contínuas:
, dada por
Mostre que
e calcule as transformadas de Laplace.