Considere a função f: R R dada por
f(x)=ccc x+23-raiz7-x & se & x<-2 a & se & x=-2 x^3-2 x^2-5 x+6x^4+x^3-x^2+x-2 & se & -2= 1
(a) Existe algum valor de a que torna a função f contínua em x=-2 ? Se sim, exiba-o, justificando sua resposta.
(b) Existe algum valor de b que torna a função f contínua em x=1 ? Se sim, exiba-o, justificando sua resposta.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre continuidade de funções. A gente tem uma função definida por partes e queremos descobrir se podemos escolher valores específicos para e que tornem a função contínua nos pontos e . Para isso, vamos precisar usar o conceito de limites e entender o que é uma função contínua.

Passo 2

Vamos começar com a parte (a): verificar se existe um valor de que faz a função ser contínua em .

Passo 3

Primeiro, para a função ser contínua em , o limite da função quando se aproxima de pela esquerda deve ser igual ao valor da função em , ou seja, .

Passo 4

Calculamos o limite quando limx to -2^- x + 23 - raiz7 - x se aproxima de -2 + 23 - raiz7 - (-2) = 03 - raiz9 = 03 - 3 = 00 pela esquerda:
Substituindo :
Indeterminação, então precisamos simplificar a expressão.

Passo 5

Vamos racionalizar o denominador. Multiplicamos numerador e denominador por x + 23 - raiz7 - x times 3 + raiz7 - x3 + raiz7 - x = (x + 2)(3 + raiz7 - x)9 - (7 - x) = (x + 2)(3 + raiz7 - x)2 + x :
(x + 2)(3 + raiz7 - x)x + 2 = 3 + raiz7 - x
Agora, simplificamos limx to -2^- 3 + raiz7 - x = 3 + raiz7 - (-2) = 3 + raiz9 = 3 + 3 = 6 com :
Então, o limite fica:

Passo 6

Como para a função ser contínua em a = 6 , o limite pela esquerda deve ser igual a :

Passo 7

Agora, a parte (a) está resolvida. Vamos para a parte (b): verificar se existe um valor de que faz a função ser contínua em .

Passo 8

Para a continuidade em , o limite da função quando se aproxima de pela direita deve ser igual ao valor da função em , ou seja, .

Passo 9

Calculamos o limite quando limx to 1^- x^3 - 2x^2 - 5x + 6x^4 + x^3 - x^2 + x - 2 se aproxima de pela esquerda:
Primeiro, fatoramos o numerador e o denominador.

Passo 10

Fatorando o numerador:
x^3 - 2x^2 - 5x + 6 = (x - 3)(x + 1)(x - 2)
Fatorando o denominador:
x^4 + x^3 - x^2 + x - 2 = (x - 1)(x + 1)(x^2 + 2x + 2)
Então, a expressão fica:
(x - 3)(x + 1)(x - 2)(x - 1)(x + 1)(x^2 + 2x + 2) = (x - 3)(x - 2)(x - 1)(x^2 + 2x + 2)

Passo 11

Agora, calculamos o limite substituindo (1 - 3)(1 - 2)(1 - 1)(1^2 + 2 cdot 1 + 2) = (-2)(-1)0 cdot 5 = 20 :
Isso indica que o limite tende ao infinito, o que significa que não existe um valor finito de que torne a função contínua em .

Resposta

(a) Sim, .
(b) Não existe valor de que torne a função contínua em .

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