Considere a função dada por
(a) Existe algum valor de que torna a função contínua em ? Se sim, exiba-o, justificando sua resposta.
(b) Existe algum valor de que torna a função contínua em ? Se sim, exiba-o, justificando sua resposta.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre continuidade de funções. A gente tem uma função definida por partes e queremos descobrir se podemos escolher valores específicos para e que tornem a função contínua nos pontos e . Para isso, vamos precisar usar o conceito de limites e entender o que é uma função contínua.

Passo 2

Vamos começar com a parte (a): verificar se existe um valor de que faz a função ser contínua em .

Passo 3

Primeiro, para a função ser contínua em , o limite da função quando se aproxima de pela esquerda deve ser igual ao valor da função em , ou seja, .

Passo 4

Calculamos o limite quando se aproxima de pela esquerda:
Substituindo :
Indeterminação, então precisamos simplificar a expressão.

Passo 5

Vamos racionalizar o denominador. Multiplicamos numerador e denominador por :
Agora, simplificamos com :
Então, o limite fica:

Passo 6

Como para a função ser contínua em , o limite pela esquerda deve ser igual a :

Passo 7

Agora, a parte (a) está resolvida. Vamos para a parte (b): verificar se existe um valor de que faz a função ser contínua em .

Passo 8

Para a continuidade em , o limite da função quando se aproxima de pela direita deve ser igual ao valor da função em , ou seja, .

Passo 9

Calculamos o limite quando se aproxima de pela esquerda:
Primeiro, fatoramos o numerador e o denominador.

Passo 10

Fatorando o numerador:
Fatorando o denominador:
Então, a expressão fica:

Passo 11

Agora, calculamos o limite substituindo :
Isso indica que o limite tende ao infinito, o que significa que não existe um valor finito de que torne a função contínua em .

Resposta

(a) Sim, .
(b) Não existe valor de que torne a função contínua em .

Exercícios relacionados

Derive cada uma das funções dadas abaixo:
Determine os domínios das funções vetoriais abaixo: ;
Derive cada uma das funções dadas abaixo:
Determine os domínios das funções vetoriais abaixo: .