Considere a função f: R -> R dada por
f(x) = { 3 - x^2, se |x| <= 1; 2/|x|, se |x| > 1 }
Esboçe o gráfico de f e calcule sua imagem. Verifique que a função f não é bijetora. Analise f quanto ao quesito paridade. Determine o maior intervalo I de R de modo que f: I -> {f(x): x em I} seja invertível e 1 in I.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício juntos! A gente tem uma função que é definida de forma diferente dependendo do valor de . Nosso objetivo aqui é:
  1. Esboçar o gráfico de .
  2. Calcular a imagem de .
  3. Verificar por que essa função não é bijetora.
  4. Analisar se é par ou ímpar.
  5. Encontrar o maior intervalo que contenha 1, onde seja invertível.
Para resolver tudo isso, vamos precisar entender:
  • Funções por partes: quando a definição da função muda dependendo do intervalo de .
  • Imagem da função: todos os valores possíveis que pode assumir.
  • Funções bijetoras: funções que são injetoras (cada elemento do domínio tem uma imagem única) e sobrejetoras (cobrindo todo o contradomínio).
  • Paridade das funções: se a função é par (simétrica em relação ao eixo y) ou ímpar (simétrica em relação à origem).
  • Funções invertíveis: funções que têm uma inversa, ou seja, é possível reverter para encontrar .
Vamos por partes agora!

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função :
Aqui, a função tem duas “peças”:
  1. Para : é uma função quadrática, .
  2. Para : é uma função racional, .
Vamos esboçar o gráfico considerando esses dois casos.

Passo 3

Esboçando o gráfico de :
  1. Para :
    • A função é uma parábola invertida (porque o coeficiente de é negativo) com vértice em .
    • Como , isso significa que varia de -1 a 1.
    • Calculando e .
  2. Para :
    • A função é uma função que se aproxima de zero à medida que aumenta.
    • Para , .
    • Para , .
Juntando as duas partes:
  • Entre -1 e 1, temos a parábola de vértice em (0,3) descendo até 2 nos pontos e .
  • Fora desse intervalo, temos duas ramos da função , que se aproximam do eixo mas nunca o tocam.

Passo 4

Calculando a imagem de :
A imagem de uma função é o conjunto de todos os valores que pode assumir.
  1. Para :
    • .
    • Parabola invertida com vértice em 3 e mínimo em 2.
    • Portanto, varia de 2 a 3.
  2. Para :
    • .
    • Quando tende ao infinito, tende a 0.
    • O valor máximo ocorre quando , onde .
    • Portanto, varia de 0 a 2 (não incluindo 0, já que nunca é infinito).
Unindo as duas partes:
  • A imagem total de é .

Passo 5

Verificando se é bijetora:
Uma função é bijetora se ela for injetora (cada elemento do domínio mapeia para um único elemento no contradomínio) e sobrejetora (cobre todo o contradomínio).
  1. Injetora:
    • Observando a imagem calculada, vemos que valores em são atingidos apenas pela parte .
    • Porém, valores em são atingidos pela parte .
    • Mas, o valor 2 é atingido por ambas as partes: e quando .
    • Isso significa que para , temos múltiplos que mapeiam para o mesmo , o que quebra a injetividade.
  2. Sobrejetora:
    • A função cobre todo o intervalo , então ela é sobrejetora em relação à sua imagem.
Conclusão:
  • Como a função não é injetora, ela não é bijetora.

Passo 6

Analisando a paridade de :
Uma função pode ser par, ímpar ou nenhuma das duas.
  • Par: para todo no domínio.
  • Ímpar: para todo no domínio.
Vamos verificar:
  1. Para :
    • .
  2. Para :
    • .
Conclusão:
  • Como em todo o domínio, é uma função par.

Passo 7

Determinando o maior intervalo contendo 1, onde é invertível:
Para que seja invertível em um intervalo, ela precisa ser injetora nesse intervalo.
Vamos considerar que .
Analisando a função:
  1. Para :
    • .
    • Essa é uma função decrescente para .
  2. Para :
    • .
    • No intervalo , a função é decrescente em .
Como queremos o maior intervalo que contenha 1 e onde seja invertível, vamos escolher o intervalo em que a função é estritamente monotônica.
Escolha do intervalo:
  • Se tomar :
    • , que é estritamente decrescente.
    • Isso garante que é injetora nesse intervalo.
Conclusão:
  • O maior intervalo que contém 1 e onde é invertível é .

Resposta

áéáééçããéãééúçãéáéíé

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f(x+y) = f(x) f(y), x, y em R
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