Considere a função
dada por
Esboçe o gráfico de
e calcule sua imagem. Verifique que a função
não é bijetora. Analise
quanto ao quesito paridade. Determine o maior intervalo
de
de modo que
seja invertível e
.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício juntos! A gente tem uma função
que é definida de forma diferente dependendo do valor de
. Nosso objetivo aqui é:
- Esboçar o gráfico de
. - Calcular a imagem de
. - Verificar por que essa função não é bijetora.
- Analisar se
é par ou ímpar. - Encontrar o maior intervalo
que contenha 1, onde seja invertível.
Para resolver tudo isso, vamos precisar entender:
- Funções por partes: quando a definição da função muda dependendo do intervalo de
. - Imagem da função: todos os valores possíveis que
pode assumir. - Funções bijetoras: funções que são injetoras (cada elemento do domínio tem uma imagem única) e sobrejetoras (cobrindo todo o contradomínio).
- Paridade das funções: se a função é par (simétrica em relação ao eixo y) ou ímpar (simétrica em relação à origem).
- Funções invertíveis: funções que têm uma inversa, ou seja, é possível reverter
para encontrar .
Vamos por partes agora!
Passo 2
Primeiro, vamos entender a função
:
Aqui, a função tem duas “peças”:
- Para
: é uma função quadrática, . - Para
: é uma função racional, .
Vamos esboçar o gráfico considerando esses dois casos.
Passo 3
Esboçando o gráfico de
:
-
Para
: - A função
é uma parábola invertida (porque o coeficiente de é negativo) com vértice em . - Como
, isso significa que varia de -1 a 1. - Calculando
e .
- A função
-
Para
: - A função
é uma função que se aproxima de zero à medida que aumenta. - Para
, . - Para
, .
- A função
Juntando as duas partes:
- Entre -1 e 1, temos a parábola de vértice em (0,3) descendo até 2 nos pontos
e . - Fora desse intervalo, temos duas ramos da função
, que se aproximam do eixo mas nunca o tocam.
Passo 4
Calculando a imagem de
:
A imagem de uma função é o conjunto de todos os valores que
pode assumir.
-
Para
: -
. - Parabola invertida com vértice em 3 e mínimo em 2.
- Portanto,
varia de 2 a 3.
-
-
Para
: -
. - Quando
tende ao infinito, tende a 0. - O valor máximo ocorre quando
, onde . - Portanto,
varia de 0 a 2 (não incluindo 0, já que nunca é infinito).
-
Unindo as duas partes:
- A imagem total de
é .
Passo 5
Verificando se
é bijetora:
Uma função é bijetora se ela for injetora (cada elemento do domínio mapeia para um único elemento no contradomínio) e sobrejetora (cobre todo o contradomínio).
-
Injetora:
- Observando a imagem calculada, vemos que valores em
são atingidos apenas pela parte . - Porém, valores em
são atingidos pela parte . - Mas, o valor 2 é atingido por ambas as partes:
e quando . - Isso significa que para
, temos múltiplos que mapeiam para o mesmo , o que quebra a injetividade.
- Observando a imagem calculada, vemos que valores em
-
Sobrejetora:
- A função cobre todo o intervalo
, então ela é sobrejetora em relação à sua imagem.
- A função cobre todo o intervalo
Conclusão:
- Como a função não é injetora, ela não é bijetora.
Passo 6
Analisando a paridade de
:
Uma função pode ser par, ímpar ou nenhuma das duas.
- Par:
para todo no domínio. - Ímpar:
para todo no domínio.
Vamos verificar:
-
Para
: -
.
-
-
Para
: -
.
-
Conclusão:
- Como
em todo o domínio, é uma função par.
Passo 7
Determinando o maior intervalo
contendo 1, onde
é invertível:
Para que
seja invertível em um intervalo, ela precisa ser injetora nesse intervalo.
Vamos considerar que
.
Analisando a função:
-
Para
: -
. - Essa é uma função decrescente para
.
-
-
Para
: -
. - No intervalo
, a função é decrescente em .
-
Como queremos o maior intervalo que contenha 1 e onde
seja invertível, vamos escolher o intervalo em que a função é estritamente monotônica.
Escolha do intervalo:
- Se tomar
: -
, que é estritamente decrescente. - Isso garante que
é injetora nesse intervalo.
-
Conclusão:
- O maior intervalo
que contém 1 e onde é invertível é .
Resposta
Exercícios relacionados
Decida se existe uma função
ímpar tal que
e
Uma função
tem as seguintes características:
(i) existem dois números e
, com
, tais que se
então
(ii) .
Conclua que é periódica e exiba um período dela.
(i) existem dois números
(ii)
Conclua que
Se
e
são periódicas de período
, prove que:
é periódica de período
.
Determine a menor distância entre o ponto
e o plano
.