Se
e
são periódicas de período
, prove que:
é periódica de período
.
Passo 1
Vamos lá! A questão pede para provar que se duas funções periódicas,
e
, têm período
, então o produto delas,
, também é uma função periódica com o mesmo período
. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma função periódica e como o período se comporta quando multiplicamos duas funções periódicas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser periódica. Uma função
é dita periódica de período
se, para todo valor de
, a seguinte igualdade é verdadeira:
Isso significa que o gráfico da função se repete a cada intervalo de comprimento
.
Passo 3
Agora, queremos provar que
também é periódica de período
. Para isso, vamos calcular
e ver se ela é igual a
:
Passo 4
Sabemos que tanto
quanto
são periódicas de período
. Ou seja:
Passo 5
Substituindo essas igualdades na expressão de
, temos:
Isso é exatamente igual a
:
Resposta
Portanto,
é uma função periódica com período
.
Exercícios relacionados
Considere a função
dada por
Esboçe o gráfico de
e calcule sua imagem. Verifique que a função
não é bijetora. Analise
quanto ao quesito paridade. Determine o maior intervalo
de
de modo que
seja invertível e
.
Decida se existe uma função
ímpar tal que
e
Determine a menor distância entre o ponto
e o plano
.
Calcule a expressão e escreva sua resposta na forma
.