Se f(x) e g(x) são periódicas de período T, prove que: h(x) = f(x) * g(x) é periódica de período T.

Passo 1

Vamos lá! A questão pede para provar que se duas funções periódicas, e , têm período , então o produto delas, , também é uma função periódica com o mesmo período . Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma função periódica e como o período se comporta quando multiplicamos duas funções periódicas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser periódica. Uma função é dita periódica de período se, para todo valor de , a seguinte igualdade é verdadeira:
Isso significa que o gráfico da função se repete a cada intervalo de comprimento .

Passo 3

Agora, queremos provar que também é periódica de período . Para isso, vamos calcular e ver se ela é igual a :

Passo 4

Sabemos que tanto quanto são periódicas de período . Ou seja:

Passo 5

Substituindo essas igualdades na expressão de , temos:
Isso é exatamente igual a :

Resposta

Portanto, é uma função periódica com período .

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Considere a função f: R -> R dada por
f(x) = { 3 - x^2, se |x| <= 1; 2/|x|, se |x| > 1 }
Esboçe o gráfico de f e calcule sua imagem. Verifique que a função f não é bijetora. Analise f quanto ao quesito paridade. Determine o maior intervalo I de R de modo que f: I -> {f(x): x em I} seja invertível e 1 in I.
Decida se existe uma função f: R -> R ímpar tal que
f(x+y) = f(x) f(y), x, y em R
e f(x) != 0, x em R
Determine a menor distância entre o ponto (2, 0, 3) e o plano x + y + z = 1.
Calcule a expressão e escreva sua resposta na forma a + i b.
(2 + 5i)(4 - i)