Decida se existe uma função f: R -> R ímpar tal que
f(x+y) = f(x) f(y), x, y em R
e f(x) != 0, x em R

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício que pede para descobrir se existe uma função que seja ímpar e que satisfaça a equação funcional para todos os números reais e . Além disso, é dado que para todo . Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma função ímpar e trabalhar com equações funcionais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser ímpar. Uma função é ímpar se, para todo , . Isso basicamente diz que o gráfico da função é simétrico em relação à origem.

Passo 3

Agora, vamos analisar a equação funcional . Esse tipo de equação aparece geralmente quando a função tem uma forma exponencial. Na verdade, sabemos que funções exponenciais satisfazem esse tipo de propriedade: .

Passo 4

Vamos testar o que acontece quando colocamos na equação funcional. Substituindo, temos:
Simplificando, fica . Como , podemos dividir os dois lados por , obtendo:
Então, descobrimos que .

Passo 5

Agora, vamos usar a propriedade de ser ímpar. Sabemos que . Substituindo , temos:
Como e já sabemos que , substituindo:
Isso é uma contradição, porque 1 não é igual a -1.

Resposta

Não existe uma função que seja ímpar, satisfaça para todo e que para todo .

Exercícios relacionados

Uma função f: A -> R tem as seguintes características:
(i) existem dois números T1 e T2, com T1 + T2 ≠ 0, tais que se x em A então x + T1, x - T1, x + T2, x - T2 ∈ A
(ii) f(x + T1) = f(x + T2), x em A.
Conclua que f é periódica e exiba um período dela.
Seja f(x) = { x, se x < 1; x^2, se 1 <= x <= 9; 27 * raiz(x), se x > 9 }. Verifique que f tem uma inversa e encontre f^(-1)(x).
Considere a função f: R -> R dada por
f(x) = { 3 - x^2, se |x| <= 1; 2/|x|, se |x| > 1 }
Esboçe o gráfico de f e calcule sua imagem. Verifique que a função f não é bijetora. Analise f quanto ao quesito paridade. Determine o maior intervalo I de R de modo que f: I -> {f(x): x em I} seja invertível e 1 in I.
Se f(x) e g(x) são periódicas de período T, prove que: h(x) = f(x) * g(x) é periódica de período T.