Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício que pede para descobrir se existe uma função que seja ímpar e que satisfaça a equação funcional para todos os números reais e . Além disso, é dado que para todo . Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma função ímpar e trabalhar com equações funcionais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser ímpar. Uma função é ímpar se, para todo , . Isso basicamente diz que o gráfico da função é simétrico em relação à origem.
Passo 3
Agora, vamos analisar a equação funcional . Esse tipo de equação aparece geralmente quando a função tem uma forma exponencial. Na verdade, sabemos que funções exponenciais satisfazem esse tipo de propriedade: .
Passo 4
Vamos testar o que acontece quando colocamos na equação funcional. Substituindo, temos:
Simplificando, fica . Como , podemos dividir os dois lados por , obtendo:
Então, descobrimos que .
Passo 5
Agora, vamos usar a propriedade de ser ímpar. Sabemos que . Substituindo , temos:
Como e já sabemos que , substituindo:
Isso é uma contradição, porque 1 não é igual a -1.
Resposta
Não existe uma função que seja ímpar, satisfaça para todo e que para todo .