Uma partícula se move ao longo da curva y^2 = 1 - x^2. Determine: a) a velocidade e aceleração da partícula no instante t.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente descobrir a velocidade e a aceleração de uma partícula que está se movendo ao longo da curva em um instante específico . Aqui, estamos trabalhando com Movimento em Curvas, que envolve cálculo diferencial para encontrar derivadas que representam velocidade e aceleração. Para resolver isso, vamos precisar usar derivadas de funções paramétricas.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação da curva de uma forma que possamos trabalhar com parâmetros. A equação dada é . Podemos resolver para em função de :

Passo 3

Para encontrar a velocidade, precisamos das derivadas de e em relação ao tempo . Vamos considerar e como funções de :
A velocidade total será:

Passo 4

Vamos derivar em relação a . Usando a regra da cadeia:

Passo 5

Agora, a velocidade total é:
Para simplificar, podemos fatorar :

Passo 6

Agora vamos para a aceleração. A aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo:
Derivando cada componente da velocidade:
Primeiro, derivada de :
Segundo, derivada de :
Usando a regra do produto:

Passo 7

Vamos calcular :
Usando a regra da cadeia:

Passo 8

Substituindo de volta na expressão da aceleração:
Simplificando:

Resposta

A velocidade da partícula no instante é:
E a aceleração da partícula no instante é:

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