Uma partícula se move ao longo da curva
. Determine: a) a velocidade e aceleração da partícula no instante
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente descobrir a velocidade e a aceleração de uma partícula que está se movendo ao longo da curva
em um instante específico
. Aqui, estamos trabalhando com Movimento em Curvas, que envolve cálculo diferencial para encontrar derivadas que representam velocidade e aceleração. Para resolver isso, vamos precisar usar derivadas de funções paramétricas.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação da curva de uma forma que possamos trabalhar com parâmetros. A equação dada é
. Podemos resolver para
em função de
:
Passo 3
Para encontrar a velocidade, precisamos das derivadas de
e
em relação ao tempo
. Vamos considerar
e
como funções de
:
A velocidade total
será:
Passo 4
Vamos derivar
em relação a
. Usando a regra da cadeia:
Passo 5
Agora, a velocidade total é:
Para simplificar, podemos fatorar
:
Passo 6
Agora vamos para a aceleração. A aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo:
Derivando cada componente da velocidade:
Primeiro, derivada de
:
Segundo, derivada de
:
Usando a regra do produto:
Passo 7
Vamos calcular
:
Usando a regra da cadeia:
Passo 8
Substituindo de volta na expressão da aceleração:
Simplificando:
Resposta
A velocidade da partícula no instante
é:
E a aceleração da partícula no instante
é: