Considere a função f: R* -> R dada por f(x) = (x + 1) / x. Determine a reta tangente ao gráfico de f no ponto de abscissa x = 2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para gente achar a reta tangente ao gráfico da função no ponto onde . Vamos precisar saber sobre derivadas para encontrar a inclinação dessa reta tangente.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o valor de . Substituindo por 2 na função:
Então, o ponto no gráfico é .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada da função para determinar a inclinação da reta tangente. A derivada de uma função nos dá a taxa de variação, ou seja, a inclinação da reta tangente em qualquer ponto.
A função é:
Podemos reescrever isso como:
Agora, derivamos termo a termo:

Passo 4

Com a derivada , vamos calcular :
Então, a inclinação da reta tangente no ponto é -0,25.

Passo 5

Agora que temos o ponto e a inclinação , podemos usar a fórmula da equação da reta tangente, que é:
Substituindo os valores:

Passo 6

Vamos simplificar a equação para a forma padrão:

Resposta

A reta tangente ao gráfico de no ponto onde é:

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