Determine o volume do sólido que está dentro da esfera fora do cilindro .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar o volume de um sólido que está dentro de uma esfera definida pela equação e fora de um cilindro dado por . Vamos usar cálculo de integrais múltiplas e coordenadas cilíndricas para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender as regiões envolvidas. A esfera tem um raio . O cilindro tem raio e se estende infinitamente ao longo do eixo z. Queremos o volume que está dentro da esfera mas fora desse cilindro.

Passo 3

Para calcular esse volume, é mais fácil usar coordenadas cilíndricas, onde , , e . Nessas coordenadas, a esfera fica e o cilindro fica apenas .

Passo 4

O volume que queremos é onde vai de 1 até (a partir da esfera), vai de 0 a (cobrindo toda a volta ao redor do cilindro) e vai de até .

Passo 5

A integral para o volume será:
Aqui, é o elemento de volume em coordenadas cilíndricas.

Passo 6

Vamos resolver a integral interna em primeiro:

Passo 7

Agora, substituímos isso na integral:
Podemos tirar o fator para fora:

Passo 8

Vamos resolver a integral em :
Como a função é par, podemos simplificar:
Substituindo:

Passo 9

Agora, substituímos de volta na integral do volume:
A integral de de 0 a é :

Resposta

O volume do sólido é:

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Considere a função dada por . Determine a reta tangente ao gráfico de no ponto de abscissa .
Utilize coordenadas esféricas para calcular as seguintes integrais: ; onde é limitado abaixo pelo cone e acima pela esfera .
Determine quais afirmações a seguir são verdadeiras e quais são falsas, justificando.
.
Determine a imagem do conjunto sob a transformação dada: é a região delimitada pelas retas e pela parábola