Determine o volume do sólido que está dentro da esfera
fora do cilindro
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar o volume de um sólido que está dentro de uma esfera definida pela equação
e fora de um cilindro dado por
. Vamos usar cálculo de integrais múltiplas e coordenadas cilíndricas para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender as regiões envolvidas. A esfera
tem um raio
. O cilindro
tem raio
e se estende infinitamente ao longo do eixo z. Queremos o volume que está dentro da esfera mas fora desse cilindro.
Passo 3
Para calcular esse volume, é mais fácil usar coordenadas cilíndricas, onde
,
, e
. Nessas coordenadas, a esfera fica
e o cilindro fica apenas
.
Passo 4
O volume que queremos é onde
vai de 1 até
(a partir da esfera),
vai de 0 a
(cobrindo toda a volta ao redor do cilindro) e
vai de
até
.
Passo 5
A integral para o volume
será:
Aqui,
é o elemento de volume em coordenadas cilíndricas.
Passo 6
Vamos resolver a integral interna em
primeiro:
Passo 7
Agora, substituímos isso na integral:
Podemos tirar o fator
para fora:
Passo 8
Vamos resolver a integral em
:
Como a função
é par, podemos simplificar:
Substituindo:
Passo 9
Agora, substituímos de volta na integral do volume:
A integral de
de 0 a
é
:
Resposta
O volume do sólido é:
Exercícios relacionados
Considere a função
dada por
. Determine a reta tangente ao gráfico de
no ponto de abscissa
.
Utilize coordenadas esféricas para calcular as seguintes integrais:
; onde
é limitado abaixo pelo cone
e acima pela esfera
.
Determine quais afirmações a seguir são verdadeiras e quais são falsas, justificando.
.
Determine a imagem do conjunto
sob a transformação dada:
é a região delimitada pelas retas
e pela parábola