Utilize coordenadas esféricas para calcular as seguintes integrais:
; onde
é limitado abaixo pelo cone
e acima pela esfera
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral tripla usando coordenadas esféricas. A questão pede pra calcular
, onde a região
é limitada abaixo por um cone com
e acima por uma esfera de raio
. Para isso, vamos precisar entender como transformar a integral para coordenadas esféricas e definir os limites de integração.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que em coordenadas esféricas, qualquer ponto no espaço é representado por
, onde:
-
é a distância do ponto até a origem, -
é o ângulo no plano xy a partir do eixo x, -
é o ângulo a partir do eixo z.
A função que queremos integrar,
, em coordenadas esféricas vira simplesmente
, já que
.
Passo 3
O próximo passo é determinar os limites de integração para
,
e
. Sabemos que a região
está abaixo do cone
e acima da esfera
.
- Para
, como não há restrição específica, ele varia de a . - Para
, como está limitado pelo cone , vai de até . - Para
, ele vai de até a esfera, ou seja, de até .
Passo 4
Agora, vamos montar a integral em coordenadas esféricas. Lembre-se que o elemento de volume em coordenadas esféricas é dado por
. Portanto, a integral fica:
Passo 5
Vamos agora integrar em ordem. Primeiro, integramos com relação a
, depois
e por último
.
A integral fica:
Passo 6
Integrando com respeito a
:
Passo 7
Substituindo o resultado na integral:
Passo 8
Integrando com respeito a
:
Passo 9
Substituindo de novo:
Resposta
A integral vale
.