Utilize coordenadas esféricas para calcular as seguintes integrais: integral triplaE raizx^2+y^2+z^2 d V; onde E é limitado abaixo pelo cone varphi=pi6 e acima pela esfera rho=2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral tripla usando coordenadas esféricas. A questão pede pra calcular integral triplaE raizx^2+y^2+z^2 , dV, onde a região E é limitada abaixo por um cone com varphi = pi6 e acima por uma esfera de raio rho = 2. Para isso, vamos precisar entender como transformar a integral para coordenadas esféricas e definir os limites de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que em coordenadas esféricas, qualquer ponto no espaço é representado por (rho, theta, varphi), onde:
  • rho é a distância do ponto até a origem,
  • theta é o ângulo no plano xy a partir do eixo x,
  • varphi é o ângulo a partir do eixo z.
A função que queremos integrar, raizx^2+y^2+z^2, em coordenadas esféricas vira simplesmente rho, já que rho = raizx^2+y^2+z^2.

Passo 3

O próximo passo é determinar os limites de integração para rho, theta e varphi. Sabemos que a região E está abaixo do cone varphi = pi6 e acima da esfera rho = 2.
  • Para theta, como não há restrição específica, ele varia de 0 a 2pi.
  • Para varphi, como está limitado pelo cone pi6, varphi vai de 0 até pi6.
  • Para rho, ele vai de 0 até a esfera, ou seja, de 0 até 2.

Passo 4

Agora, vamos montar a integral em coordenadas esféricas. Lembre-se que o elemento de volume em coordenadas esféricas é dado por dV = rho^2 sin varphi , drho , dtheta , dvarphi. Portanto, a integral fica:
integral triplaE rho cdot rho^2 sin varphi , drho , dtheta , dvarphi = integral triplaE rho^3 sin varphi , drho , dtheta , dvarphi

Passo 5

Vamos agora integrar em ordem. Primeiro, integramos com relação a rho, depois theta e por último varphi.
A integral fica:
integral0^2pi integral0^pi6 integral0^2 rho^3 sin varphi , drho , dvarphi , dtheta

Passo 6

Integrando com respeito a rho:
integral0^2 rho^3 , drho = [ rho^44 ]0^2 = 164 = 4

Passo 7

Substituindo o resultado na integral:
4 integral0^2pi integral0^pi6 sin varphi , dvarphi , dtheta

Passo 8

Integrando com respeito a varphi:
integral0^pi6 sin varphi , dvarphi = [ -cos varphi ]0^pi6 = -cos ( pi6 ) + cos(0) = -raiz32 + 1 = 1 - raiz32

Passo 9

Substituindo de novo:
4 (1 - raiz32) integral0^2pi dtheta = 4 (1 - raiz32) cdot 2pi = 8pi (1 - raiz32)

Resposta

A integral vale 8pi (1 - raiz32).

Exercícios relacionados