Utilize coordenadas esféricas para calcular as seguintes integrais: ; onde é limitado abaixo pelo cone e acima pela esfera .

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral tripla usando coordenadas esféricas. A questão pede pra calcular , onde a região é limitada abaixo por um cone com e acima por uma esfera de raio . Para isso, vamos precisar entender como transformar a integral para coordenadas esféricas e definir os limites de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que em coordenadas esféricas, qualquer ponto no espaço é representado por , onde:
  • é a distância do ponto até a origem,
  • é o ângulo no plano xy a partir do eixo x,
  • é o ângulo a partir do eixo z.
A função que queremos integrar, , em coordenadas esféricas vira simplesmente , já que .

Passo 3

O próximo passo é determinar os limites de integração para , e . Sabemos que a região está abaixo do cone e acima da esfera .
  • Para , como não há restrição específica, ele varia de a .
  • Para , como está limitado pelo cone , vai de até .
  • Para , ele vai de até a esfera, ou seja, de até .

Passo 4

Agora, vamos montar a integral em coordenadas esféricas. Lembre-se que o elemento de volume em coordenadas esféricas é dado por . Portanto, a integral fica:

Passo 5

Vamos agora integrar em ordem. Primeiro, integramos com relação a , depois e por último .
A integral fica:

Passo 6

Integrando com respeito a :

Passo 7

Substituindo o resultado na integral:

Passo 8

Integrando com respeito a :

Passo 9

Substituindo de novo:

Resposta

A integral vale .

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Determine se a sequencia converge ou diverge. Se convergir, encontre o limite.

/I
Derive as funções a seguir.
Considere a função dada por . Determine a reta tangente ao gráfico de no ponto de abscissa .
Determine o volume do sólido que está dentro da esfera fora do cilindro .