Prove, utilizando a definição formal de limites, que:
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para provar, usando a definição formal de limites, que quando as variáveis
e
se aproximam de
, a função
tende a 1. Isso está dentro do tópico de limites de funções de duas variáveis. Para resolver isso, vamos precisar usar a definição formal de limite, que envolve encontrar um delta (
) para cada epsilon (
) dado que garante que
sempre que
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a definição formal de limite para funções de duas variáveis. Dizemos que:
se, para todo
, existir um
tal que sempre que
, então
.
No nosso caso,
,
e
. Então, precisamos mostrar que:
quando
.
Passo 3
Vamos manipular a expressão
para relacioná-la com
. Note que:
Usando a desigualdade triangular, temos:
Passo 4
Agora, precisamos relacionar
e
com
. Sabemos que:
Portanto,
Passo 5
Queremos que
. Vendo que
, basta escolher
tal que
. Para isso, definimos:
Escolhemos
como o mínimo entre 1 e
para garantir que
seja positivo e atenda à condição.
Resposta
Assim, para todo
, ao escolher
, garantimos que
sempre que
. Portanto, provamos que:
Exercícios relacionados
Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
.
Prove, utilizando a definição formal de limites, que:
(a) .
(a)
Determine o valor de
para que as funções sejam contínuas.
Considere a função
dada por
(a) Mostre que e
existem e calcule-as.
(a) Mostre que