Prove, utilizando a definição formal de limites, que:
.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para provar, usando a definição formal de limites, que quando as variáveis e se aproximam de , a função tende a 1. Isso está dentro do tópico de limites de funções de duas variáveis. Para resolver isso, vamos precisar usar a definição formal de limite, que envolve encontrar um delta ( ) para cada epsilon ( ) dado que garante que sempre que .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a definição formal de limite para funções de duas variáveis. Dizemos que:
se, para todo , existir um tal que sempre que , então .
No nosso caso, , e . Então, precisamos mostrar que:
quando .

Passo 3

Vamos manipular a expressão para relacioná-la com . Note que:
Usando a desigualdade triangular, temos:

Passo 4

Agora, precisamos relacionar e com . Sabemos que:
Portanto,

Passo 5

Queremos que . Vendo que , basta escolher tal que . Para isso, definimos:
Escolhemos como o mínimo entre 1 e para garantir que seja positivo e atenda à condição.

Resposta

Assim, para todo , ao escolher , garantimos que sempre que . Portanto, provamos que:

Exercícios relacionados

Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
.
Prove, utilizando a definição formal de limites, que:
(a) .
Determine o valor de para que as funções sejam contínuas.
Considere a função dada por
(a) Mostre que e existem e calcule-as.