Prove, utilizando a definição formal de limites, que:
lim (x, y) (1,1) 2 x-y=1.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para provar, usando a definição formal de limites, que quando as variáveis e se aproximam de , a função tende a 1. Isso está dentro do tópico de limites de funções de duas variáveis. Para resolver isso, vamos precisar usar a definição formal de limite, que envolve encontrar um delta ( ) para cada epsilon ( ) dado que garante que sempre que .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a definição formal de limite para funções de duas variáveis. Dizemos que:
lim(x, y) to (a, b) f(x, y) = L
se, para todo |2x - y - 1| < varepsilon , existir um tal que sempre que , então .
No nosso caso, , e . Então, precisamos mostrar que:
quando .

Passo 3

Vamos manipular a expressão |2x - y - 1| = |2(x - 1) - (y - 1)| para relacioná-la com |2(x - 1) - (y - 1)| <= |2(x - 1)| + |y - 1| = 2|x - 1| + |y - 1| . Note que:
Usando a desigualdade triangular, temos:

Passo 4

Agora, precisamos relacionar |x - 1| <= raiz(x - 1)^2 + (y - 1)^2 < de e |y - 1| <= raiz(x - 1)^2 + (y - 1)^2 < de com 2|x - 1| + |y - 1| <= 2de. Sabemos que:
Portanto,

Passo 5

Queremos que de. Vendo que , basta escolher tal que . Para isso, definimos:
Escolhemos como o mínimo entre 1 e para garantir que seja positivo e atenda à condição.

Resposta

Assim, para todo lim(x, y) to (1,1) 2x - y = 1 , ao escolher , garantimos que sempre que . Portanto, provamos que:

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