Considere a função
definida por
.
b) A partir do teste da segunda derivada verifique se os pontos críticos da função são de máximo ou de mínimo. Verifique também os pontos de inflexão e os intervalos de concavidade.
b) A partir do teste da segunda derivada verifique se os pontos críticos da função são de máximo ou de mínimo. Verifique também os pontos de inflexão e os intervalos de concavidade.
Passo 1
Beleza! A gente vai analisar a função
. O objetivo aqui é usar o teste da segunda derivada para descobrir se os pontos críticos dessa função são máximos ou mínimos. Além disso, vamos identificar os pontos de inflexão e determinar onde a função está côncava para cima ou para baixo. Para isso, vamos precisar calcular as primeiras e segundas derivadas da função.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos da função. Isso acontece onde a primeira derivada
é igual a zero ou indefinida. Vamos calcular
:
Usando a regra do produto:
Agora, igualamos
a zero:
Sabemos que
nunca é zero, então:
Isso nos dá
(com multiplicidade 2) e
. Então, os pontos críticos são
e
.
Passo 3
Agora, vamos calcular a segunda derivada
para usar no teste da segunda derivada. A primeira derivada que encontramos foi:
Vamos derivar novamente usando a regra do produto:
Aplicando a regra do produto:
Passo 4
Vamos aplicar o teste da segunda derivada nos pontos críticos
e
.
- Para
:
Quando a segunda derivada é zero, o teste não é conclusivo. Precisamos analisar mais a fundo ou usar outro método. Nesse caso, vamos analisar a concavidade nos arredores de
para determinar o comportamento.
- Para
:
Como
, isso significa que a função é côncava para cima nesse ponto, indicando que
é um ponto de mínimo local.
Passo 5
Agora, vamos identificar os pontos de inflexão e os intervalos de concavidade.
Os pontos de inflexão ocorrem onde a segunda derivada muda de sinal, ou seja, onde
.
Como
nunca é zero, temos:
As soluções são
e as raízes de
. Resolvendo a equação quadrática:
Então, os pontos de inflexão são
e
.
Para os intervalos de concavidade:
-
Côncava para cima quando
: -
-
Côncava para baixo quando
: -
Resposta
Os pontos críticos são
e
. Usando o teste da segunda derivada,
é um ponto de mínimo local. Os pontos de inflexão ocorrem em
e
. A função é côncava para cima nos intervalos
e
, e côncava para baixo em
e
.
Exercícios relacionados
Uma empresa fabrica sapatos com um custo fixo mensal de
. Cada sapato custa R
para ser produzido. Sabendo que esses sapatos serão vendidos por
, qual a quantidade mínima de sapatos que deve ser produzida para que a quantia arrecadada supere o custo de produção?
Considere a função
definida
.
c) A partir do teste da segunda derivada verifique se os pontos críticos da função são de máximo ou de mínimo. Verifique também os pontos de inflexão e os intervalos de concavidade.
c) A partir do teste da segunda derivada verifique se os pontos críticos da função são de máximo ou de mínimo. Verifique também os pontos de inflexão e os intervalos de concavidade.
Considere a função
definida por
.
c) A partir do teste da segunda derivada verifique se os pontos críticos da função são de máximo ou de mínimo. Verifique também os pontos de inflexão e os intervalos de concavidade.
c) A partir do teste da segunda derivada verifique se os pontos críticos da função são de máximo ou de mínimo. Verifique também os pontos de inflexão e os intervalos de concavidade.
Considere a função
definida
.
d) Encontre suas assíntotas horizontais e verticais, caso existam.
d) Encontre suas assíntotas horizontais e verticais, caso existam.