Considere a função definida por .
b) A partir do teste da segunda derivada verifique se os pontos críticos da função são de máximo ou de mínimo. Verifique também os pontos de inflexão e os intervalos de concavidade.

Passo 1

Beleza! A gente vai analisar a função . O objetivo aqui é usar o teste da segunda derivada para descobrir se os pontos críticos dessa função são máximos ou mínimos. Além disso, vamos identificar os pontos de inflexão e determinar onde a função está côncava para cima ou para baixo. Para isso, vamos precisar calcular as primeiras e segundas derivadas da função.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos da função. Isso acontece onde a primeira derivada é igual a zero ou indefinida. Vamos calcular :
Usando a regra do produto:
Agora, igualamos a zero:
Sabemos que nunca é zero, então:
Isso nos dá (com multiplicidade 2) e . Então, os pontos críticos são e .

Passo 3

Agora, vamos calcular a segunda derivada para usar no teste da segunda derivada. A primeira derivada que encontramos foi:
Vamos derivar novamente usando a regra do produto:
Aplicando a regra do produto:

Passo 4

Vamos aplicar o teste da segunda derivada nos pontos críticos e .
  • Para :
Quando a segunda derivada é zero, o teste não é conclusivo. Precisamos analisar mais a fundo ou usar outro método. Nesse caso, vamos analisar a concavidade nos arredores de para determinar o comportamento.
  • Para :
Como , isso significa que a função é côncava para cima nesse ponto, indicando que é um ponto de mínimo local.

Passo 5

Agora, vamos identificar os pontos de inflexão e os intervalos de concavidade.
Os pontos de inflexão ocorrem onde a segunda derivada muda de sinal, ou seja, onde .
Como nunca é zero, temos:
As soluções são e as raízes de . Resolvendo a equação quadrática:
Então, os pontos de inflexão são e .
Para os intervalos de concavidade:
  • Côncava para cima quando :
  • Côncava para baixo quando :

Resposta

Os pontos críticos são e . Usando o teste da segunda derivada, é um ponto de mínimo local. Os pontos de inflexão ocorrem em e . A função é côncava para cima nos intervalos e , e côncava para baixo em e .

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Considere a função definida .
c) A partir do teste da segunda derivada verifique se os pontos críticos da função são de máximo ou de mínimo. Verifique também os pontos de inflexão e os intervalos de concavidade.
Considere a função definida por .
c) A partir do teste da segunda derivada verifique se os pontos críticos da função são de máximo ou de mínimo. Verifique também os pontos de inflexão e os intervalos de concavidade.
Considere a função definida .
d) Encontre suas assíntotas horizontais e verticais, caso existam.