Considere a função
definida
.
c) A partir do teste da segunda derivada verifique se os pontos críticos da função são de máximo ou de mínimo. Verifique também os pontos de inflexão e os intervalos de concavidade.
c) A partir do teste da segunda derivada verifique se os pontos críticos da função são de máximo ou de mínimo. Verifique também os pontos de inflexão e os intervalos de concavidade.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente analisar a função
usando o teste da segunda derivada. Nosso objetivo é:
- Encontrar os pontos críticos da função.
- Verificar se esses pontos são máximos ou mínimos usando a segunda derivada.
- Identificar os pontos de inflexão.
- Determinar os intervalos onde a função é côncava para cima ou para baixo.
Para isso, vamos precisar calcular a primeira e a segunda derivadas da função.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada
da função
. Vamos usar a regra do quociente, que diz:
Aqui,
e
. Calculando as derivadas:
Agora aplicando a regra do quociente:
Passo 3
Agora, vamos encontrar os pontos críticos. Os pontos críticos ocorrem onde a primeira derivada é zero ou não existe.
O numerador deve ser zero:
Portanto, temos dois pontos críticos:
e
.
Passo 4
Vamos agora calcular a segunda derivada
para usar no teste da segunda derivada. Começamos com
.
Usando a regra do quociente novamente:
Aplicando a regra do quociente:
Simplificando:
Factorizando o
:
Passo 5
Vamos usar a segunda derivada para verificar se os pontos críticos são máximos ou mínimos.
Primeiro, avaliamos
nos pontos críticos
e
.
Para
:
Como
, isso indica que
é um ponto de máximo local.
Para
:
Como
, isso indica que
é um ponto de mínimo local.
Passo 6
Agora, vamos encontrar os pontos de inflexão. Os pontos de inflexão ocorrem onde a segunda derivada muda de sinal, ou seja, onde
.
O numerador deve ser zero:
Portanto, os pontos de inflexão são
,
e
.
Passo 7
Por fim, vamos determinar os intervalos de concavidade da função.
- Para
: Escolha
Concavidade para baixo.
- Para
: Escolha
Concavidade para cima.
- Para
: Escolha
Concavidade para baixo.
- Para
: Escolha
Concavidade para cima.
Resposta
Os pontos críticos são
(máximo local) e
(mínimo local). Os pontos de inflexão estão em
,
e
. A função é côncava para baixo nos intervalos
,
e côncava para cima nos intervalos
e
.
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e
.
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Considere a função
definida por
.
b) A partir do teste da segunda derivada verifique se os pontos críticos da função são de máximo ou de mínimo. Verifique também os pontos de inflexão e os intervalos de concavidade.
b) A partir do teste da segunda derivada verifique se os pontos críticos da função são de máximo ou de mínimo. Verifique também os pontos de inflexão e os intervalos de concavidade.