Considere a função f: R -> R definida por f(x) = 4 x / (x^2 + 1).
c) A partir do teste da segunda derivada verifique se os pontos críticos da função são de máximo ou de mínimo. Verifique também os pontos de inflexão e os intervalos de concavidade.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente analisar a função usando o teste da segunda derivada. Nosso objetivo é:
  1. Encontrar os pontos críticos da função.
  2. Verificar se esses pontos são máximos ou mínimos usando a segunda derivada.
  3. Identificar os pontos de inflexão.
  4. Determinar os intervalos onde a função é côncava para cima ou para baixo.
Para isso, vamos precisar calcular a primeira e a segunda derivadas da função.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada da função . Vamos usar a regra do quociente, que diz:
Aqui, e . Calculando as derivadas:
Agora aplicando a regra do quociente:

Passo 3

Agora, vamos encontrar os pontos críticos. Os pontos críticos ocorrem onde a primeira derivada é zero ou não existe.
O numerador deve ser zero:
Portanto, temos dois pontos críticos: e .

Passo 4

Vamos agora calcular a segunda derivada para usar no teste da segunda derivada. Começamos com .
Usando a regra do quociente novamente:
Aplicando a regra do quociente:
Simplificando:
Factorizando o :

Passo 5

Vamos usar a segunda derivada para verificar se os pontos críticos são máximos ou mínimos.
Primeiro, avaliamos nos pontos críticos e .
Para :
Como , isso indica que é um ponto de máximo local.
Para :
Como , isso indica que é um ponto de mínimo local.

Passo 6

Agora, vamos encontrar os pontos de inflexão. Os pontos de inflexão ocorrem onde a segunda derivada muda de sinal, ou seja, onde .
O numerador deve ser zero:
Portanto, os pontos de inflexão são , e .

Passo 7

Por fim, vamos determinar os intervalos de concavidade da função.
  • Para : Escolha
Concavidade para baixo.
  • Para : Escolha
Concavidade para cima.
  • Para : Escolha
Concavidade para baixo.
  • Para : Escolha
Concavidade para cima.

Resposta

Os pontos críticos são (máximo local) e (mínimo local). Os pontos de inflexão estão em , e . A função é côncava para baixo nos intervalos , e côncava para cima nos intervalos e .

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