Uma empresa fabrica sapatos com um custo fixo mensal de . Cada sapato custa R para ser produzido. Sabendo que esses sapatos serão vendidos por , qual a quantidade mínima de sapatos que deve ser produzida para que a quantia arrecadada supere o custo de produção?

Passo 1

Vamos lá! A questão fala sobre uma empresa que faz sapatos. Eles têm um custo fixo mensal de R$ 3500,00, e cada sapato custa R$ 25,00 para ser produzido. Eles vendem cada sapato por R$ 55,00. Precisamos descobrir quantos sapatos eles precisam produzir e vender para que o dinheiro arrecadado seja maior que o custo de produção. Vamos usar conceitos de custo total e receita total para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o custo total. O custo total é a soma do custo fixo com o custo variável. Aqui, o custo fixo é de R$ 3500,00 por mês, e o custo para produzir cada sapato é de R$ 25,00.
Então, a fórmula para o custo total ( ) é:
á
onde:
  • á
  • é a quantidade de sapatos produzidos

Passo 3

Agora, vamos falar sobre a receita total. A receita total é o dinheiro que a empresa ganha vendendo os sapatos. Eles vendem cada sapato por R$ 55,00.
A fórmula para a receita total ( ) é:
ç
onde:
  • ç
  • é a quantidade de sapatos vendidos

Passo 4

Queremos que a receita total seja maior que o custo total. Então, montamos a seguinte inequação:
Substituindo as fórmulas que desenvolvemos:

Passo 5

Vamos resolver essa inequação para encontrar o valor de .
Primeiro, subtraímos de ambos os lados para agrupar os termos com :

Passo 6

Agora, isolamos dividindo ambos os lados por 30:

Passo 7

Como não podemos produzir uma fração de sapato, arredondamos para o próximo número inteiro. Portanto, a quantidade mínima de sapatos que deve ser produzida é 117.

Resposta

A empresa precisa produzir e vender 117 sapatos para que a quantia arrecadada supere o custo de produção.

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Considere a função definida .
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Considere a função definida por .
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Considere a função definida por .
c) A partir do teste da segunda derivada verifique se os pontos críticos da função são de máximo ou de mínimo. Verifique também os pontos de inflexão e os intervalos de concavidade.