Considere a função definida por .
Por que é contínua em ?

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a função definida para todos os números reais . A pergunta é: por que essa função é contínua em todos os reais? Para responder, vamos precisar saber sobre funções contínuas, funções polinomiais e funções trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua. Basicamente, uma função é contínua em um ponto se não tem “quebras”, “saltos” ou “buracos” naquele ponto. Em termos mais técnicos, para todo ponto no domínio da função, o limite de quando se aproxima de deve ser igual a .

Passo 3

Agora, vamos analisar as partes da função :
  1. é uma função polinomial de primeiro grau. Funções polinomiais são sempre contínuas em todos os números reais.
  2. é uma função trigonométrica composta. Sabemos que a função cosseno é contínua para todo real, e multiplicar o argumento por não altera essa propriedade.

Passo 4

Como e são contínuas individualmente em , a soma delas também será contínua em . Isso se deve a uma propriedade importante das funções contínuas: a soma de funções contínuas é contínua.

Resposta

Portanto, a função é contínua em todos os números reais porque é a soma de duas funções contínuas.

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Derive as funções abaixo: