Considere a função
definida por
.
Por que
é contínua em
?
Por que
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a função
definida para todos os números reais
. A pergunta é: por que essa função é contínua em todos os reais? Para responder, vamos precisar saber sobre funções contínuas, funções polinomiais e funções trigonométricas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua. Basicamente, uma função é contínua em um ponto se não tem “quebras”, “saltos” ou “buracos” naquele ponto. Em termos mais técnicos, para todo ponto
no domínio da função, o limite de
quando
se aproxima de
deve ser igual a
.
Passo 3
Agora, vamos analisar as partes da função
:
-
é uma função polinomial de primeiro grau. Funções polinomiais são sempre contínuas em todos os números reais. -
é uma função trigonométrica composta. Sabemos que a função cosseno é contínua para todo real, e multiplicar o argumento por não altera essa propriedade.
Passo 4
Como
e
são contínuas individualmente em
, a soma delas também será contínua em
. Isso se deve a uma propriedade importante das funções contínuas: a soma de funções contínuas é contínua.
Resposta
Portanto, a função
é contínua em todos os números reais
porque é a soma de duas funções contínuas.