Beleza, vamos dar uma olhada nesse limite: . Aqui, estamos lidando com cálculo de limites, especificamente envolvendo valor absoluto e divisão por uma expressão que se aproxima de zero. Para resolver isso, vamos precisar entender como manipular expressões com valor absoluto e fatorar o polinômio no numerador.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro do valor absoluto: x^2 - 3x + 2 = (x - 1)(x - 2). Para facilitar, vamos fatorar esse polinômio. Procuramos dois números que multiplicados dão 2 e somados dão -3. Esses números são -1 e -2. Então:
|(x - 1)(x - 2)|x - 1
Agora nossa expressão fica:
Passo 3
Agora, vamos analisar o valor absoluto. O valor absoluto de um produto é igual ao produto dos valores absolutos:
|(x - 1)(x - 2)| = |x - 1| cdot |x - 2|
Substituindo na expressão original:
|x - 1| cdot |x - 2|x - 1
Passo 4
Observamos que |x - 1|x - 1 = x - 1x - 1 = 1 está se aproximando de 1, então |x - 1|x - 1 = -(x - 1)x - 1 = -1 está se aproximando de 0. Precisamos analisar o comportamento de . Dependendo de como nos aproximamos de 1, essa fração pode ter valores diferentes:
Se se aproxima de 1 pela direita (), então é positivo, e . Logo:
Se se aproxima de 1 pela esquerda (), então é negativo, e . Logo:
Passo 5
Agora, vamos considerar o outro fator limx to 1 |x - 2| = |-1| = 1. Como está se aproximando de 1, está se aproximando de -1. Então:
Passo 6
Juntando tudo, o limite depende de como limx to 1^+ |x - 1| cdot |x - 2|x - 1 = 1 cdot 1 = 1 se aproxima de 1: