Considere a função
definida
.
b) Utilizando o teste da primeira derivada, informe os pontos críticos assim como os intervalos de crescimento e decrescimento da função.
b) Utilizando o teste da primeira derivada, informe os pontos críticos assim como os intervalos de crescimento e decrescimento da função.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente analisar a função
usando o teste da primeira derivada. Isso significa que vamos encontrar onde a função tem pontos críticos (onde a derivada é zero ou indefinida) e descobrir em quais intervalos a função está crescendo ou decrescendo.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada da função
. A derivada nos ajuda a entender a inclinação da função em qualquer ponto.
A função é
. Para derivar isso, vamos usar a regra do quociente, que é:
Aqui,
e
. Vamos derivar cada parte:
Agora, aplicamos a regra:
Podemos simplificar mais:
Passo 3
Agora, vamos encontrar os pontos críticos. Eles ocorrem onde
ou onde a derivada não existe. Olhando para a derivada que encontramos:
O denominador
nunca é zero porque
é sempre positivo. Então, os pontos críticos vêm de
:
Então, os pontos críticos são
e
.
Passo 4
Agora, vamos determinar onde a função está crescendo ou decrescendo. Para isso, analisamos o sinal da derivada
em intervalos determinados pelos pontos críticos.
Os pontos críticos dividem a reta real em três intervalos:
Vamos escolher um valor de
em cada intervalo e ver o sinal de
:
- Para
, por exemplo, :
Então,
está decrescendo nesse intervalo.
- Para
, por exemplo, :
Então,
está crescendo nesse intervalo.
- Para
, por exemplo, :
Então,
está decrescendo nesse intervalo.
Resposta
Os pontos críticos da função são
e
. A função
está decrescendo nos intervalos
e
, e está crescendo no intervalo
.
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Determine os valores de x para que exista um triângulo com os lados medindo
.
Considere a função
definida por
.
d) Encontre suas assíntotas horizontais e verticais, caso existam.
d) Encontre suas assíntotas horizontais e verticais, caso existam.
Sejam
. Suponha que
. Então, mostre
que
que
Sabendo que
, e ed são números reais positivos, prove cada uma das desigualdades a seguir:
a) ;
b) ;
c) .
a)
b)
c)