Considere a função definida .
b) Utilizando o teste da primeira derivada, informe os pontos críticos assim como os intervalos de crescimento e decrescimento da função.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente analisar a função usando o teste da primeira derivada. Isso significa que vamos encontrar onde a função tem pontos críticos (onde a derivada é zero ou indefinida) e descobrir em quais intervalos a função está crescendo ou decrescendo.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada da função . A derivada nos ajuda a entender a inclinação da função em qualquer ponto.
A função é . Para derivar isso, vamos usar a regra do quociente, que é:
Aqui, e . Vamos derivar cada parte:
Agora, aplicamos a regra:
Podemos simplificar mais:

Passo 3

Agora, vamos encontrar os pontos críticos. Eles ocorrem onde ou onde a derivada não existe. Olhando para a derivada que encontramos:
O denominador nunca é zero porque é sempre positivo. Então, os pontos críticos vêm de :
Então, os pontos críticos são e .

Passo 4

Agora, vamos determinar onde a função está crescendo ou decrescendo. Para isso, analisamos o sinal da derivada em intervalos determinados pelos pontos críticos.
Os pontos críticos dividem a reta real em três intervalos:
Vamos escolher um valor de em cada intervalo e ver o sinal de :
  1. Para , por exemplo, :
Então, está decrescendo nesse intervalo.
  1. Para , por exemplo, :
Então, está crescendo nesse intervalo.
  1. Para , por exemplo, :
Então, está decrescendo nesse intervalo.

Resposta

Os pontos críticos da função são e . A função está decrescendo nos intervalos e , e está crescendo no intervalo .

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Determine os valores de x para que exista um triângulo com os lados medindo .
Considere a função definida por .
d) Encontre suas assíntotas horizontais e verticais, caso existam.
Sejam . Suponha que . Então, mostre
que
Sabendo que , e ed são números reais positivos, prove cada uma das desigualdades a seguir:
a) ;
b) ;
c) .