Considere a função
definida
.
a) Determine o domínio da função e suas interseções com os eixos
e
.
a) Determine o domínio da função e suas interseções com os eixos
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para determinar o domínio da função
e encontrar suas interseções com os eixos
e
. Para isso, vamos usar conceitos de funções racionais e entender como identificar o domínio e os pontos onde a função corta os eixos.
Passo 2
Determinar o domínio da função
O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de
para os quais a função está definida. Como estamos lidando com uma função racional, ou seja, uma fração onde o numerador e o denominador são polinômios, precisamos garantir que o denominador não seja zero, pois divisão por zero não é definida.
A função dada é:
Vamos analisar o denominador:
Queremos encontrar os valores de
que fazem o denominador igual a zero:
No conjunto dos números reais, não existe nenhum número que, ao ser elevado ao quadrado, resulte em um número negativo. Portanto, não há valores reais de
que tornem o denominador zero.
Conclusão: O denominador nunca é zero para valores reais de
, então o domínio da função é todo o conjunto dos números reais.
Passo 3
Encontrar a interseção com o eixo
A interseção com o eixo
ocorre quando
. Vamos calcular o valor de
:
Conclusão: A função intersecta o eixo
no ponto
.
Passo 4
Encontrar as interseções com o eixo
As interseções com o eixo
ocorrem quando
. Vamos resolver a equação:
Para uma fração ser igual a zero, o numerador deve ser zero (desde que o denominador não seja zero, o que já verificamos que não ocorre aqui). Então:
Conclusão: A função intersecta o eixo
no ponto
.
Resposta
- Domínio:
(todos os números reais) - Interseção com o eixo
: - Interseção com o eixo
:
Exercícios relacionados
Em cada parte, descreva em palavras como o gráfico de
está relacionado com o gráfico de
.
(a)
(a)
Seja
.
(a) Use um CAS para gerar o gráfico de com
.
(a) Use um CAS para gerar o gráfico de
Qual o maior volume que um cilindro com
de área pode ter?
(Extra) As sequoias são árvores conhecidas pela longevidade e imponência, podendo viver mais de um século e ultrapassar os 100 m de altura. Suponhamos que podemos calcular a idade destas gigantes da natureza utilizando a seguinte equação:
A variável
representa o raio do tronco da árvore,
a altura do tronco e
representa a idade estimada da árvore em décadas. Suponha que o tronco da sequoia tem o formato aproximado de um cilindro.
Certo dia uma forte tempestade tombou uma jovem sequoia devido às fortes rajadas de vento. Os cuidadores do parque onde esta árvore estava desejam saber o quão velha esta árvore pode ser, em anos, sabendo que o volume de madeira presente em seu tronco é de aproximadamente .
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