Considere a função f: R -> R definida por f(x) = 4 x / (x^2 + 1).
a) Determine o domínio da função e suas interseções com os eixos x e y.

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para determinar o domínio da função e encontrar suas interseções com os eixos e . Para isso, vamos usar conceitos de funções racionais e entender como identificar o domínio e os pontos onde a função corta os eixos.

Passo 2

Determinar o domínio da função
O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de para os quais a função está definida. Como estamos lidando com uma função racional, ou seja, uma fração onde o numerador e o denominador são polinômios, precisamos garantir que o denominador não seja zero, pois divisão por zero não é definida.
A função dada é:
Vamos analisar o denominador:
Queremos encontrar os valores de que fazem o denominador igual a zero:
No conjunto dos números reais, não existe nenhum número que, ao ser elevado ao quadrado, resulte em um número negativo. Portanto, não há valores reais de que tornem o denominador zero.
Conclusão: O denominador nunca é zero para valores reais de , então o domínio da função é todo o conjunto dos números reais.

Passo 3

Encontrar a interseção com o eixo
A interseção com o eixo ocorre quando . Vamos calcular o valor de :
Conclusão: A função intersecta o eixo no ponto .

Passo 4

Encontrar as interseções com o eixo
As interseções com o eixo ocorrem quando . Vamos resolver a equação:
Para uma fração ser igual a zero, o numerador deve ser zero (desde que o denominador não seja zero, o que já verificamos que não ocorre aqui). Então:
Conclusão: A função intersecta o eixo no ponto .

Resposta

  • Domínio: (todos os números reais)
  • Interseção com o eixo :
  • Interseção com o eixo :

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