(Extra) As sequoias são árvores conhecidas pela longevidade e imponência, podendo viver mais de um século e ultrapassar os 100 m de altura. Suponhamos que podemos calcular a idade destas gigantes da natureza utilizando a seguinte equação:
A variável
representa o raio do tronco da árvore,
a altura do tronco e
representa a idade estimada da árvore em décadas. Suponha que o tronco da sequoia tem o formato aproximado de um cilindro.
Certo dia uma forte tempestade tombou uma jovem sequoia devido às fortes rajadas de vento. Os cuidadores do parque onde esta árvore estava desejam saber o quão velha esta árvore pode ser, em anos, sabendo que o volume de madeira presente em seu tronco é de aproximadamente
.
Certo dia uma forte tempestade tombou uma jovem sequoia devido às fortes rajadas de vento. Os cuidadores do parque onde esta árvore estava desejam saber o quão velha esta árvore pode ser, em anos, sabendo que o volume de madeira presente em seu tronco é de aproximadamente
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão tá pedindo. A gente tem uma sequoia jovem que caiu numa tempestade, e os cuidadores querem saber a idade dessa árvore em anos. A gente sabe que o volume do tronco dela é de aproximadamente
metros cúbicos. A matéria envolvida aqui é geometria (volume de cilindros) e logaritmos para calcular a idade usando a fórmula dada. Vamos precisar usar a fórmula do volume do cilindro e a equação que relaciona o raio e a altura do tronco com a idade da árvore.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a fórmula do volume de um cilindro:
Onde:
-
é o volume, -
é o raio, -
é a altura.
Sabemos que
. Então podemos escrever:
Aí, simplificando
dos dois lados:
Isso nos dá uma relação entre
e
.
Passo 3
Agora, a fórmula que relaciona o raio, a altura e a idade da árvore é:
Onde:
-
é a idade em décadas, -
é o raio do tronco, -
é a altura do tronco, -
é o logaritmo natural.
Queremos descobrir
, mas temos duas variáveis (
e
) e só uma equação até agora. Vamos usar a relação que encontramos no passo anterior para expressar
em função de
.
Passo 4
Da relação
, podemos isolar
:
Agora, substituímos essa expressão de
na fórmula da idade:
Vamos simplificar a expressão dentro do logaritmo:
Então:
Passo 5
Para simplificar ainda mais, podemos usar propriedades dos logaritmos:
Substituindo de volta na fórmula da idade:
Agora, precisamos encontrar um valor para
que faça sentido. Como a árvore é jovem, vamos supor uma altura razoável para uma sequoia jovem, digamos
metros.
Passo 6
Com
metros, usamos a relação
para encontrar
:
Agora, substituímos
e
na fórmula da idade:
Passo 7
Calculando os valores numéricos:
Como a idade
está em décadas, para converter para anos multiplicamos por 10:
Resposta
A sequoia tem aproximadamente 21 anos.
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de área pode ter?
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definida
.
a) Determine o domínio da função e suas interseções com os eixos e
.
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Descreva a superfície de nível em palavras.
Calcule a superfície de nível de .
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,
e
.
a)
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