(Extra) As sequoias são árvores conhecidas pela longevidade e imponência, podendo viver mais de um século e ultrapassar os 100 m de altura. Suponhamos que podemos calcular a idade destas gigantes da natureza utilizando a seguinte equação:
A variável representa o raio do tronco da árvore, a altura do tronco e representa a idade estimada da árvore em décadas. Suponha que o tronco da sequoia tem o formato aproximado de um cilindro.
Certo dia uma forte tempestade tombou uma jovem sequoia devido às fortes rajadas de vento. Os cuidadores do parque onde esta árvore estava desejam saber o quão velha esta árvore pode ser, em anos, sabendo que o volume de madeira presente em seu tronco é de aproximadamente .

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão tá pedindo. A gente tem uma sequoia jovem que caiu numa tempestade, e os cuidadores querem saber a idade dessa árvore em anos. A gente sabe que o volume do tronco dela é de aproximadamente metros cúbicos. A matéria envolvida aqui é geometria (volume de cilindros) e logaritmos para calcular a idade usando a fórmula dada. Vamos precisar usar a fórmula do volume do cilindro e a equação que relaciona o raio e a altura do tronco com a idade da árvore.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula do volume de um cilindro:
Onde:
  • é o volume,
  • é o raio,
  • é a altura.
Sabemos que . Então podemos escrever:
Aí, simplificando dos dois lados:
Isso nos dá uma relação entre e .

Passo 3

Agora, a fórmula que relaciona o raio, a altura e a idade da árvore é:
Onde:
  • é a idade em décadas,
  • é o raio do tronco,
  • é a altura do tronco,
  • é o logaritmo natural.
Queremos descobrir , mas temos duas variáveis ( e ) e só uma equação até agora. Vamos usar a relação que encontramos no passo anterior para expressar em função de .

Passo 4

Da relação , podemos isolar :
Agora, substituímos essa expressão de na fórmula da idade:
Vamos simplificar a expressão dentro do logaritmo:
Então:

Passo 5

Para simplificar ainda mais, podemos usar propriedades dos logaritmos:
Substituindo de volta na fórmula da idade:
Agora, precisamos encontrar um valor para que faça sentido. Como a árvore é jovem, vamos supor uma altura razoável para uma sequoia jovem, digamos metros.

Passo 6

Com metros, usamos a relação para encontrar :
Agora, substituímos e na fórmula da idade:

Passo 7

Calculando os valores numéricos:
é
Como a idade está em décadas, para converter para anos multiplicamos por 10:

Resposta

A sequoia tem aproximadamente 21 anos.

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