Qual o maior volume que um cilindro com
de área pode ter?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente tem um cilindro com uma área de superfície total de
e queremos descobrir qual é o maior volume que esse cilindro pode ter. Para isso, vamos precisar lembrar das fórmulas da área e do volume de um cilindro.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar as fórmulas que vamos usar:
- A área de superfície de um cilindro é dada por:
onde é o raio da base e é a altura. - O volume do cilindro é:
Nosso objetivo é maximizar sabendo que .
Passo 3
Vamos usar a fórmula da área para encontrar uma relação entre
e
. Sabemos que:
Podemos simplificar dividindo ambos os lados por
:
Agora, isolamos
:
Passo 4
Agora que temos
em termos de
, vamos substituir isso na fórmula do volume:
Simplificando:
Passo 5
Para encontrar o valor de
que maximiza o volume, vamos derivar
em relação a
e igualar a zero:
Igualando a derivada a zero:
Passo 6
Resolvendo a equação:
Encontramos que o raio
que maximiza o volume é 5 cm.
Passo 7
Agora, vamos encontrar a altura
correspondente usando a relação que encontramos antes:
Então, a altura
é de 10 cm.
Resposta
O maior volume que o cilindro pode ter é
.
Exercícios relacionados
Considere a função
definida
.
a) Determine o domínio da função e suas interseções com os eixos e
.
a) Determine o domínio da função e suas interseções com os eixos
Em cada parte, descreva em palavras como o gráfico de
está relacionado com o gráfico de
.
(a)
(a)
(Extra) As sequoias são árvores conhecidas pela longevidade e imponência, podendo viver mais de um século e ultrapassar os 100 m de altura. Suponhamos que podemos calcular a idade destas gigantes da natureza utilizando a seguinte equação:
A variável
representa o raio do tronco da árvore,
a altura do tronco e
representa a idade estimada da árvore em décadas. Suponha que o tronco da sequoia tem o formato aproximado de um cilindro.
Certo dia uma forte tempestade tombou uma jovem sequoia devido às fortes rajadas de vento. Os cuidadores do parque onde esta árvore estava desejam saber o quão velha esta árvore pode ser, em anos, sabendo que o volume de madeira presente em seu tronco é de aproximadamente .
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Descreva a superfície de nível em palavras.
Calcule a superfície de nível de .
Calcule a superfície de nível de