Qual o maior volume que um cilindro com 150 pi cm^2 de área pode ter?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente tem um cilindro com uma área de superfície total de ² e queremos descobrir qual é o maior volume que esse cilindro pode ter. Para isso, vamos precisar lembrar das fórmulas da área e do volume de um cilindro.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar as fórmulas que vamos usar:
  • A área de superfície de um cilindro é dada por: onde é o raio da base e é a altura.
  • O volume do cilindro é: ²Nosso objetivo é maximizar sabendo que .

Passo 3

Vamos usar a fórmula da área para encontrar uma relação entre e . Sabemos que:
Podemos simplificar dividindo ambos os lados por :
Agora, isolamos :

Passo 4

Agora que temos em termos de , vamos substituir isso na fórmula do volume:
²²
Simplificando:
³

Passo 5

Para encontrar o valor de que maximiza o volume, vamos derivar em relação a e igualar a zero:
²
Igualando a derivada a zero:
²

Passo 6

Resolvendo a equação:
²²²
Encontramos que o raio que maximiza o volume é 5 cm.

Passo 7

Agora, vamos encontrar a altura correspondente usando a relação que encontramos antes:
Então, a altura é de 10 cm.

Resposta

O maior volume que o cilindro pode ter é ³.

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