Considere a função
. Mostre que
.
Passo 1
Beleza! A gente vai resolver um exercício sobre funções e suas imagens. A função dada é
. Nosso objetivo é mostrar que a imagem dessa função, ou seja, todos os possíveis valores que ela pode assumir, é o conjunto dos números reais (
). Para isso, vamos precisar entender o que significa imagem de uma função e como manipular equações básicas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a imagem de uma função. A imagem de
, denotada por
, é o conjunto de todos os valores que
pode assumir quando
e
variam em
. Então, queremos mostrar que para qualquer número real
, existe pelo menos um par
que faz
.
Passo 3
Vamos começar escrevendo a equação que define a imagem:
A gente quer resolver essa equação para
e
em termos de
. Isso vai nos mostrar que sempre dá para encontrar
e
que resultam em qualquer
real.
Passo 4
Vamos rearranjar a equação para isolar uma das variáveis. Por exemplo, podemos resolver para
:
Isso significa que, para qualquer valor de
que a gente escolher, podemos encontrar um
correspondente que faz
.
Passo 5
Agora, vamos ver o que isso significa. Escolhemos
livremente em
. Para cada
, calculamos
usando a equação acima:
Isso mostra que não importa qual
a gente queira, sempre dá para encontrar
e
que satisfazem a equação
.
Passo 6
Como conseguimos encontrar
e
para qualquer
real, concluímos que a imagem de
cobre todos os números reais. Ou seja, todo número real
está na imagem de
.
Resposta
Portanto,
.