Considere a função f: R^2 -> R, f(x, y) = x - y + 1. Mostre que Im(f) = R.

Passo 1

Beleza! A gente vai resolver um exercício sobre funções e suas imagens. A função dada é . Nosso objetivo é mostrar que a imagem dessa função, ou seja, todos os possíveis valores que ela pode assumir, é o conjunto dos números reais ( ). Para isso, vamos precisar entender o que significa imagem de uma função e como manipular equações básicas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a imagem de uma função. A imagem de , denotada por , é o conjunto de todos os valores que pode assumir quando e variam em . Então, queremos mostrar que para qualquer número real , existe pelo menos um par que faz .

Passo 3

Vamos começar escrevendo a equação que define a imagem:
A gente quer resolver essa equação para e em termos de . Isso vai nos mostrar que sempre dá para encontrar e que resultam em qualquer real.

Passo 4

Vamos rearranjar a equação para isolar uma das variáveis. Por exemplo, podemos resolver para :
Isso significa que, para qualquer valor de que a gente escolher, podemos encontrar um correspondente que faz .

Passo 5

Agora, vamos ver o que isso significa. Escolhemos livremente em . Para cada , calculamos usando a equação acima:
Isso mostra que não importa qual a gente queira, sempre dá para encontrar e que satisfazem a equação .

Passo 6

Como conseguimos encontrar e para qualquer real, concluímos que a imagem de cobre todos os números reais. Ou seja, todo número real está na imagem de .

Resposta

Portanto, .

Exercícios relacionados