Determine a transformada de Laplace da função f(t) = { -t + 2, 0 <= t < 1; 0, t >= 1 }

Passo 1

Então, vamos lá! A questão pede pra gente encontrar a transformada de Laplace da função que é definida por:
Isso significa que vamos usar conceitos de transformada de Laplace, que é uma ferramenta matemática usada pra transformar funções do tempo ( ) para o domínio da frequência ( ). Para resolver isso, vamos precisar entender a definição da transformada de Laplace e como aplicá-la passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a definição da transformada de Laplace. Ela é dada por:
Isso significa que a transformada de Laplace de uma função é a integral dessa função multiplicada por , de 0 até o infinito.

Passo 3

No nosso caso, a função é diferente de zero apenas no intervalo de a . Para , ela é zero. Isso simplifica nossa integral, porque em vez de integrar de 0 até infinito, podemos integrar apenas de 0 até 1:

Passo 4

Agora, vamos calcular essa integral. Primeiro, vamos distribuir o na expressão:
Isso nos permite separar a integral em duas partes:

Passo 5

Vamos resolver cada uma dessas integrais separadamente.
Primeiro, para , usamos a integração por partes, onde:
  • =>
  • =>
Aplicando a fórmula de integração por partes ( ):
Avaliado de 0 a 1, temos:
Simplificando:

Passo 6

Agora, vamos resolver a segunda integral :

Passo 7

Voltando à nossa expressão original, substituímos as integrais calculadas:
Distribuindo o sinal negativo:
Agora, vamos combinar os termos:
Agrupando termos semelhantes:
Simplificando:

Resposta

A transformada de Laplace da função é:

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