Determine a transformada de Laplace da função
Passo 1
Então, vamos lá! A questão pede pra gente encontrar a transformada de Laplace da função
que é definida por:
Isso significa que vamos usar conceitos de transformada de Laplace, que é uma ferramenta matemática usada pra transformar funções do tempo (
) para o domínio da frequência (
). Para resolver isso, vamos precisar entender a definição da transformada de Laplace e como aplicá-la passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a definição da transformada de Laplace. Ela é dada por:
Isso significa que a transformada de Laplace de uma função
é a integral dessa função multiplicada por
, de 0 até o infinito.
Passo 3
No nosso caso, a função
é diferente de zero apenas no intervalo de
a
. Para
, ela é zero. Isso simplifica nossa integral, porque em vez de integrar de 0 até infinito, podemos integrar apenas de 0 até 1:
Passo 4
Agora, vamos calcular essa integral. Primeiro, vamos distribuir o
na expressão:
Isso nos permite separar a integral em duas partes:
Passo 5
Vamos resolver cada uma dessas integrais separadamente.
Primeiro, para
, usamos a integração por partes, onde:
-
=> -
=>
Aplicando a fórmula de integração por partes (
):
Avaliado de 0 a 1, temos:
Simplificando:
Passo 6
Agora, vamos resolver a segunda integral
:
Passo 7
Voltando à nossa expressão original, substituímos as integrais calculadas:
Distribuindo o sinal negativo:
Agora, vamos combinar os termos:
Agrupando termos semelhantes:
Simplificando:
Resposta
A transformada de Laplace da função
é: