Dado o problema de valor inicial (PVI)
y'' - 5 y' + 6 y = 12 e^(2 x) + 30 e^(-x), y(0) = 0 e y'(0) = 2
Obtenha a sua solução, usando o método dos coeficientes a determinar.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de equação diferencial juntos! O que temos aqui é uma equação diferencial de segunda ordem com coeficientes constantes:
A gente vai usar o método dos coeficientes a determinar para achar a solução geral dessa equação. Vamos precisar encontrar a solução da equação homogênea associada (a parte sem o termo do lado direito) e uma solução particular que atenda ao lado não homogêneo. Depois, aplicamos as condições iniciais para encontrar as constantes.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
Para isso, montamos a equação característica substituindo por :
Resolvendo essa equação quadrática:
Então, as raízes são:
Portanto, a solução complementar (solução geral da homogênea) é:
Onde e são constantes a serem determinadas.

Passo 3

Agora, vamos encontrar uma solução particular para a equação original:
O lado direito é uma soma de exponenciais. Vamos tratar cada termo separadamente.
  1. Para :
    Já que é uma solução da equação homogênea (você vê que é uma raiz), precisamos multiplicar por para encontrar uma solução particular:
  2. Para :
    não é solução da homogênea, então podemos propor:
Então, a solução particular total é:

Passo 4

Vamos substituir na equação diferencial para encontrar os coeficientes e .
Primeiro, calculamos as derivadas de :
Substituindo na equação:
Simplificando:
Agrupando os termos:
Simplificando:
Igualando os coeficientes:

Passo 5

Agora que temos e , nossa solução particular é:
Então, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução complementar e da solução particular:

Passo 6

Agora, vamos aplicar as condições iniciais para encontrar e .
Primeiro, para :
Agora, derivamos para encontrar :
Aplicando :
Agora, temos um sistema de equações:
Resolvendo o sistema:
Multiplicamos a primeira equação por 2:
Subtraímos da segunda equação:
Substituindo na primeira equação:

Resposta

A solução da equação diferencial é:

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