Dado o problema de valor inicial (PVI)
Obtenha a sua solução, usando o método dos coeficientes a determinar.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de equação diferencial juntos! O que temos aqui é uma equação diferencial de segunda ordem com coeficientes constantes:
A gente vai usar o método dos coeficientes a determinar para achar a solução geral dessa equação. Vamos precisar encontrar a solução da equação homogênea associada (a parte sem o termo do lado direito) e uma solução particular que atenda ao lado não homogêneo. Depois, aplicamos as condições iniciais para encontrar as constantes.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
Para isso, montamos a equação característica substituindo
por
:
Resolvendo essa equação quadrática:
Então, as raízes são:
Portanto, a solução complementar (solução geral da homogênea) é:
Onde
e
são constantes a serem determinadas.
Passo 3
Agora, vamos encontrar uma solução particular
para a equação original:
O lado direito é uma soma de exponenciais. Vamos tratar cada termo separadamente.
-
Para
: Já queé uma solução da equação homogênea (você vê que é uma raiz), precisamos multiplicar por para encontrar uma solução particular: -
Para
: não é solução da homogênea, então podemos propor:
Então, a solução particular total é:
Passo 4
Vamos substituir
na equação diferencial para encontrar os coeficientes
e
.
Primeiro, calculamos as derivadas de
:
Substituindo na equação:
Simplificando:
Agrupando os termos:
Simplificando:
Igualando os coeficientes:
Passo 5
Agora que temos
e
, nossa solução particular é:
Então, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução complementar e da solução particular:
Passo 6
Agora, vamos aplicar as condições iniciais para encontrar
e
.
Primeiro, para
:
Agora, derivamos
para encontrar
:
Aplicando
:
Agora, temos um sistema de equações:
Resolvendo o sistema:
Multiplicamos a primeira equação por 2:
Subtraímos da segunda equação:
Substituindo
na primeira equação:
Resposta
A solução da equação diferencial é: