Dado o problema de valor inicial (PVI)
Obtenha a sua solução, usando a transformada e a transformada inversa de Laplace.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial que envolve uma equação diferencial de segunda ordem. A gente vai usar a transformada de Laplace e a transformada inversa para achar a solução. Precisamos entender como aplicar a transformada de Laplace nas derivadas e como usar as condições iniciais que foram dadas:
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial:
Aqui,
é a segunda derivada de
,
é a primeira derivada, e
é a função que queremos encontrar.
Passo 3
Vamos aplicar a transformada de Laplace em cada termo da equação. Lembrando que a transformada de Laplace de
é
, e a transformada de
é
.
representa a transformada de
.
Aplicando isso:
Simplificando:
Passo 4
Vamos juntar os termos com
:
Agora, isolamos
:
Passo 5
Vamos fatorar o denominador:
Então:
Passo 6
Agora, vamos fazer a decomposição em frações parciais para cada termo:
Para o primeiro termo:
Fazendo o mesmo para os outros termos, encontramos os valores de
, etc.
Passo 7
Após encontrar os valores das constantes nas frações parciais, reescrevemos
como uma soma de termos mais simples, cada um dos quais tem uma transformada inversa conhecida.
Por exemplo:
Passo 8
Aplicamos a transformada inversa de Laplace em cada termo:
Assim, a solução geral
será uma combinação dessas funções exponenciais.
Resposta
A solução do problema de valor inicial é:
onde
,
e
são constantes determinadas pelas condições iniciais.