Dada a equação diferencial e a condição inicial
d y/d x = 4 - 4 x + y - x y, y(0) = 1
Resolva a ED usando outro método.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem uma equação diferencial junto com uma condição inicial. A equação é:
O conteúdo que vamos usar aqui é equações diferenciais lineares. Para resolver isso, vamos precisar identificar os termos da equação e aplicar o método do fator integrante.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação pra deixar tudo certinho no formato padrão das equações diferenciais lineares, que é:
Nosso objetivo é colocar a equação original nesse formato. Vamos isolar os termos com :
Então, podemos identificar que:

Passo 3

Agora que temos e , vamos encontrar o fator integrante. Isso é uma função que vamos multiplicar em toda a equação para facilitar a resolução. A fórmula para o fator integrante é:
Vamos calcular essa integral:
Então,

Passo 4

Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante :
A vantagem desse passo é que o lado esquerdo da equação agora se torna a derivada do produto :

Passo 5

Agora, integramos ambos os lados da equação em relação a :
O lado esquerdo simplifica para:
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Agora, precisamos resolver a integral no lado direito. Vamos simplificar:
Podemos fatorar o 4:
Observando a expressão , percebemos que a derivada dessa função é , que aparece dentro da integral. Portanto, a integral simplifica para:

Passo 7

Voltando à equação original:
Agora, vamos isolar :

Passo 8

Finalmente, aplicamos a condição inicial para encontrar a constante :
Quando :

Resposta

A solução da equação diferencial é:

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