Dada a equação diferencial e a condição inicial
Resolva a ED usando outro método.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem uma equação diferencial junto com uma condição inicial. A equação é:
O conteúdo que vamos usar aqui é equações diferenciais lineares. Para resolver isso, vamos precisar identificar os termos da equação e aplicar o método do fator integrante.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação pra deixar tudo certinho no formato padrão das equações diferenciais lineares, que é:
Nosso objetivo é colocar a equação original nesse formato. Vamos isolar os termos com
:
Então, podemos identificar que:
Passo 3
Agora que temos
e
, vamos encontrar o fator integrante. Isso é uma função que vamos multiplicar em toda a equação para facilitar a resolução. A fórmula para o fator integrante
é:
Vamos calcular essa integral:
Então,
Passo 4
Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante
:
A vantagem desse passo é que o lado esquerdo da equação agora se torna a derivada do produto
:
Passo 5
Agora, integramos ambos os lados da equação em relação a
:
O lado esquerdo simplifica para:
Onde
é a constante de integração.
Passo 6
Agora, precisamos resolver a integral no lado direito. Vamos simplificar:
Podemos fatorar o 4:
Observando a expressão
, percebemos que a derivada dessa função é
, que aparece dentro da integral. Portanto, a integral simplifica para:
Passo 7
Voltando à equação original:
Agora, vamos isolar
:
Passo 8
Finalmente, aplicamos a condição inicial
para encontrar a constante
:
Quando
:
Resposta
A solução da equação diferencial é: