Considere a função f(x)=x^3+x+1. Encontre a equação da reta que passa pelo ponto P(1, f(1)), cuja inclinação m é dada por m=lim x 1 f(x)-f(1)x-1.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a função e queremos encontrar a equação de uma reta que passa pelo ponto . Além disso, a inclinação dessa reta, representada por , é dada por um limite que nos ajuda a encontrar a derivada da função em . Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente a derivada e a equação da reta.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular f(1) = (1)^3 + 1 + 1 = 1 + 1 + 1 = 3 substituindo por 1 na função :
Então, o ponto é .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a inclinação m = limx to 1 f(x) - f(1)x - 1 da reta. O limite dado na questão é a definição da derivada de em :
Vamos calcular esse limite usando a função .

Passo 4

Substituímos m = limx to 1 x^3 + x + 1 - 3x - 1 = limx to 1 x^3 + x - 2x - 1 e na expressão do limite:

Passo 5

Para resolver esse limite, fatoramos o numerador. Procuramos um fator comum que anule o denominador. Testando 1^3 + 1 - 2 = 0 :
x^3 + x - 2 = (x - 1)(x^2 + x + 2)
Então, m = limx to 1 (x - 1)(x^2 + x + 2)x - 1 = limx to 1 (x^2 + x + 2) é um fator do numerador. Fazemos a fatoração:
Portanto, a expressão do limite fica:

Passo 6

Agora, substituímos m = 1^2 + 1 + 2 = 1 + 1 + 2 = 4 na expressão resultante:
Então, a inclinação da reta é .

Passo 7

Com o ponto y - y1 = m(x - x1) e a inclinação y - 3 = 4(x - 1) , usamos a fórmula da equação da reta na forma ponto-inclinação:
Substituindo os valores:

Passo 8

Simplificando a equação para a forma y = mx + b:
y - 3 = 4x - 4
y = 4x - 1

Resposta

A equação da reta é .

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r = sen(4 theta).
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r = cos(4 * theta).