Considere a função
. Encontre a equação da reta que passa pelo ponto
, cuja inclinação
é dada por
.
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a função
e queremos encontrar a equação de uma reta que passa pelo ponto
. Além disso, a inclinação dessa reta, representada por
, é dada por um limite que nos ajuda a encontrar a derivada da função em
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente a derivada e a equação da reta.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular
substituindo
por 1 na função
:
Então, o ponto
é
.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a inclinação
da reta. O limite dado na questão é a definição da derivada de
em
:
Vamos calcular esse limite usando a função
.
Passo 4
Substituímos
e
na expressão do limite:
Passo 5
Para resolver esse limite, fatoramos o numerador. Procuramos um fator comum que anule o denominador. Testando
:
Então,
é um fator do numerador. Fazemos a fatoração:
Portanto, a expressão do limite fica:
Passo 6
Agora, substituímos
na expressão resultante:
Então, a inclinação da reta é
.
Passo 7
Com o ponto
e a inclinação
, usamos a fórmula da equação da reta na forma ponto-inclinação:
Substituindo os valores:
Passo 8
Simplificando a equação para a forma y = mx + b:
Resposta
A equação da reta é
.
Exercícios relacionados
Considere a função
, onde
, definida por
. Determine:
conjunto imagem da função
.
Em cada item, esboce a região do plano cujos pontos satisfazem as condições dadas.
.
Utilize o GeoGebra para fazer o gráfico das curvas abaixo (as figuras obtidas neste exercício são chamadas de rosáceas).
.
Utilize o GeoGebra para fazer o gráfico das curvas abaixo (as figuras obtidas neste exercício são chamadas de rosáceas).
.