Considere a função f(t) = { 0, 0 <= t < 1; t, 1 <= t < 3; t - 2, 3 <= t < 4; 1, t >= 4 }
(b) Expresse f(t) em temos da função degrau unitária uc(t).

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente tem uma função f(t) que muda de comportamento em diferentes intervalos de tempo. O que a gente precisa fazer aqui é reescrever essa função usando a função degrau unitária, também conhecida como função de Heaviside, representada por . Isso vai ajudar a simplificar a representação da função f(t) de forma matemática.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a função degrau unitária . Ela é definida assim:
Basicamente, ela “liga” a partir de um ponto c. Isso é útil para “ativar” partes diferentes da nossa função f(t) em diferentes intervalos de tempo.

Passo 3

Vamos analisar cada intervalo de f(t) e ver como podemos representá-lo usando :
  1. Para :
    Nesse intervalo, a função está desligada, então não precisamos adicionar nada aqui usando o degrau.
  2. Para :
    Aqui, a função começa a crescer a partir de . Vamos usar para ligar essa parte:
    Isso garante que essa parte da função esteja ativa apenas entre e .
  3. Para :
    Agora, a função muda novamente em . Usamos para ligar essa nova expressão e para desligar em :
  4. Para :
    Finalmente, a função fica constante a partir de . Usamos para ligar essa parte:

Passo 4

Agora, vamos juntar todas essas partes para formar a expressão completa de f(t) em termos de :

Resposta

A função f(t) expressa em termos da função degrau unitária é:

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