Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar a transformada de Laplace da função que é definida por partes. Estamos lidando com o conteúdo de Transformadas de Laplace, uma ferramenta incrível para resolver equações diferenciais e analisar sistemas. Para resolver isso, vamos precisar integrar a função em cada intervalo onde ela tem uma definição diferente.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a transformada de Laplace. Basicamente, para uma função , a transformada de Laplace é dada por:
Isso significa que a transformada de Laplace transforma a função original do domínio do tempo para o domínio da frequência .
Passo 3
Agora, como a nossa função é definida por partes, vamos dividir a integral em intervalos onde tem uma expressão diferente. Olhando para a definição de :
Então, nossa transformada de Laplace será a soma das integrais em cada um desses intervalos:
Passo 4
Vamos resolver cada uma dessas integrais separadamente.
Primeira Integral ():
Essa integral é zero porque qualquer coisa multiplicada por zero é zero.
Segunda Integral ():
Para resolver isso, usamos a integração por partes. Seja e . Então, e .
Aplicando a integração por partes:
Então:
Calculando a última integral:
Assim, a segunda integral fica:
Terceira Integral ():
Novamente, usamos integração por partes. Seja e . Então, e .
Aplicando a integração por partes:
Calculando:
Quarta Integral ():
Passo 5
Agora, vamos somar todas as integrais que calculamos: