Considere a função
© Encontre a transformada de Laplace de .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar a transformada de Laplace da função que é definida por partes. Estamos lidando com o conteúdo de Transformadas de Laplace, uma ferramenta incrível para resolver equações diferenciais e analisar sistemas. Para resolver isso, vamos precisar integrar a função em cada intervalo onde ela tem uma definição diferente.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a transformada de Laplace. Basicamente, para uma função , a transformada de Laplace é dada por:
Isso significa que a transformada de Laplace transforma a função original do domínio do tempo para o domínio da frequência .

Passo 3

Agora, como a nossa função é definida por partes, vamos dividir a integral em intervalos onde tem uma expressão diferente. Olhando para a definição de :
Então, nossa transformada de Laplace será a soma das integrais em cada um desses intervalos:

Passo 4

Vamos resolver cada uma dessas integrais separadamente.
  1. Primeira Integral ( ):
    Essa integral é zero porque qualquer coisa multiplicada por zero é zero.
  2. Segunda Integral ( ):
    Para resolver isso, usamos a integração por partes. Seja e . Então, e .
    Aplicando a integração por partes:
    Então:
    Calculando a última integral:
    Assim, a segunda integral fica:
  3. Terceira Integral ( ):
    Novamente, usamos integração por partes. Seja e . Então, e .
    Aplicando a integração por partes:
    Calculando:
  4. Quarta Integral ( ):

Passo 5

Agora, vamos somar todas as integrais que calculamos:
Simplificando:

Resposta

A transformada de Laplace de é:

Exercícios relacionados

Considere a função
(b) Expresse em temos da função degrau unitária .
Encontre a transformada de Laplace inversa da função dada.
(b)
Encontre a solução do problema de valor inicial e .
Descreva o domínio de em palavras. .