Encontre a transformada de Laplace inversa da função dada.
(a)

Passo 1

Neste exercício, precisamos encontrar a transformada de Laplace inversa da função . Vamos utilizar conceitos de transformada de Laplace e frações parciais para resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos fatorar o denominador da função . A expressão quadrática pode ser fatorada encontrando suas raízes. Usando a fórmula de Bhaskara:
Portanto, as raízes são e . Assim, podemos fatorar o denominador como:

Passo 3

Agora, vamos decompor em frações parciais. Queremos expressar na forma:
Multiplicando ambos os lados por para eliminar os denominadores:

Passo 4

Para encontrar os valores de e , podemos escolher valores de que simplifiquem a equação.
  • Quando :
  • Quando :

Passo 5

Substituindo os valores de e na decomposição:

Passo 6

Agora, aplicamos a transformada de Laplace inversa. Sabemos que:
Aplicando isso a cada termo:

Resposta

A transformada de Laplace inversa de é:

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Considere a função
(b) Expresse em temos da função degrau unitária .