Encontre a transformada de Laplace inversa da função dada.
(a)
Passo 1
Neste exercício, precisamos encontrar a transformada de Laplace inversa da função . Vamos utilizar conceitos de transformada de Laplace e frações parciais para resolver.
Passo 2
Primeiro, vamos fatorar o denominador da função . A expressão quadrática pode ser fatorada encontrando suas raízes. Usando a fórmula de Bhaskara:
Portanto, as raízes são e . Assim, podemos fatorar o denominador como:
Passo 3
Agora, vamos decompor em frações parciais. Queremos expressar na forma:
Multiplicando ambos os lados por para eliminar os denominadores:
Passo 4
Para encontrar os valores de e , podemos escolher valores de que simplifiquem a equação.
Quando :
Quando :
Passo 5
Substituindo os valores de e na decomposição:
Passo 6
Agora, aplicamos a transformada de Laplace inversa. Sabemos que: