Encontre a transformada de Laplace inversa da função dada.
(a)
(a)
Passo 1
Neste exercício, precisamos encontrar a transformada de Laplace inversa da função
. Vamos utilizar conceitos de transformada de Laplace e frações parciais para resolver.
Passo 2
Primeiro, vamos fatorar o denominador da função
. A expressão quadrática
pode ser fatorada encontrando suas raízes. Usando a fórmula de Bhaskara:
Portanto, as raízes são
e
. Assim, podemos fatorar o denominador como:
Passo 3
Agora, vamos decompor
em frações parciais. Queremos expressar
na forma:
Multiplicando ambos os lados por
para eliminar os denominadores:
Passo 4
Para encontrar os valores de
e
, podemos escolher valores de
que simplifiquem a equação.
- Quando
:
- Quando
:
Passo 5
Substituindo os valores de
e
na decomposição:
Passo 6
Agora, aplicamos a transformada de Laplace inversa. Sabemos que:
Aplicando isso a cada termo:
Resposta
A transformada de Laplace inversa de
é: