Encontre a transformada de Laplace inversa da função dada.
(b)
(b)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente encontrar a transformada de Laplace inversa da função
. A matéria que estamos usando aqui é a Transformada de Laplace, especificamente a parte de encontrar a transformada inversa. Para resolver isso, vamos precisar completar o quadrado no denominador e usar algumas propriedades das transformadas de Laplace que conhecemos.
Passo 2
Primeiro, vamos dar uma olhada no denominador
. Para facilitar, vamos completar o quadrado. Isso ajuda a transformar a expressão em uma forma que a gente já conhece a transformada inversa.
Passo 3
Completando o quadrado para
:
Agora temos
.
Passo 4
Agora, nossa função fica:
Vamos reescrever o numerador para facilitar a aplicação da transformada inversa:
Então:
Passo 5
Agora, separamos a fração:
Agora, reconhecemos duas formas conhecidas da Transformada de Laplace:
Passo 6
Vamos aplicar essas propriedades:
Para o primeiro termo:
Para o segundo termo, notamos que a constante no numerador é 1, então precisamos ajustar para ficar na forma da segunda propriedade. Temos que
, então multiplicamos e dividimos por
:
Agora, aplicando a transformada inversa:
Resposta
A transformada de Laplace inversa de
é: