Encontre o domínio e todas as assíntotas verticais e horizontais da função dada e a partir disso esboce o seu gráfico (30 pontos):
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede pra gente encontrar o domínio e todas as assíntotas verticais e horizontais da função
. A gente vai precisar entender de funções exponenciais e racionais, além de saber como identificar o domínio e as assíntotas de uma função.
Passo 2
Primeiro, vamos achar o domínio da função. O domínio são todos os valores de
que a função pode aceitar sem causar problemas, como divisão por zero. Então, vamos ver onde o denominador
é diferente de zero.
Então, o domínio da função é todos os números reais exceto
e
.
Passo 3
Agora, vamos encontrar as assíntotas verticais. Essas assíntotas acontecem onde o denominador é zero e o numerador não é zero, fazendo com que a função “exploda” para
ou
.
Já vimos que
e
deixam o denominador zero. Assim, as assíntotas verticais estão em:
Passo 4
Vamos procurar as assíntotas horizontais, que mostram o comportamento da função quando
vai para
ou
.
A função é
. O numerador
cresce muito rápido conforme
aumenta. Comparando com o denominador
, que cresce polynomialmente, vemos que:
-
Para
: cresce mais rápido que , então tende para . Não há assíntota horizontal nesse caso. -
Para
: tende para 0, então também tende para 0. Assim, temos uma assíntota horizontal em:
Passo 5
Por fim, para esboçar o gráfico, consideramos:
- O domínio exclui
e , onde temos assíntotas verticais. - Conforme
cresce positivamente, vai para . - Conforme
vai para menos infinito, se aproxima de . - Entre as assíntotas verticais, o comportamento da função pode ser analisado considerando os sinais do numerador e denominador.
Resposta
O domínio da função é todos os números reais exceto
e
. As assíntotas verticais estão em
e
, e há uma assíntota horizontal em
.