Encontre o domínio e todas as assíntotas verticais e horizontais da função dada e a partir disso esboce o seu gráfico (30 pontos):
f(x) = e^x / (x^2 - 1)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede pra gente encontrar o domínio e todas as assíntotas verticais e horizontais da função . A gente vai precisar entender de funções exponenciais e racionais, além de saber como identificar o domínio e as assíntotas de uma função.

Passo 2

Primeiro, vamos achar o domínio da função. O domínio são todos os valores de que a função pode aceitar sem causar problemas, como divisão por zero. Então, vamos ver onde o denominador é diferente de zero.
Então, o domínio da função é todos os números reais exceto e .

Passo 3

Agora, vamos encontrar as assíntotas verticais. Essas assíntotas acontecem onde o denominador é zero e o numerador não é zero, fazendo com que a função “exploda” para ou .
Já vimos que e deixam o denominador zero. Assim, as assíntotas verticais estão em:

Passo 4

Vamos procurar as assíntotas horizontais, que mostram o comportamento da função quando vai para ou .
A função é . O numerador cresce muito rápido conforme aumenta. Comparando com o denominador , que cresce polynomialmente, vemos que:
  • Para : cresce mais rápido que , então tende para . Não há assíntota horizontal nesse caso.
  • Para : tende para 0, então também tende para 0. Assim, temos uma assíntota horizontal em:

Passo 5

Por fim, para esboçar o gráfico, consideramos:
  • O domínio exclui e , onde temos assíntotas verticais.
  • Conforme cresce positivamente, vai para .
  • Conforme vai para menos infinito, se aproxima de .
  • Entre as assíntotas verticais, o comportamento da função pode ser analisado considerando os sinais do numerador e denominador.

Resposta

O domínio da função é todos os números reais exceto e . As assíntotas verticais estão em e , e há uma assíntota horizontal em .

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